山东科学技术出版社：吉米多维奇《数学分析》习题集题解（三）PDF电子书（第三章 不定积分、第四章 定积分）

E.1.吉米多维奇 数学分析习题集题解 费定睴周学圣编演 郭大钧邵品琮主审 山东科学技术出版社

目录 第三章不定积分 ·…………1 §1.最简单的不定积分 §2.有理函数的积分法……… 82 §3.无理函数的积分法……………………………137 s4.二角函数的积分法………………………197 §5.各种超越函数的积分法……………………………245 §6.函数的积分法的各种例子 ……………………275 第四章定积分…………………………………………309 §1.定积分作为和的极限 §2.利用不定积分计算定积分的方法…………………………336 §3.中值定理 §4.广义积分 ………………………417 §5.面积的计算法…………………………… 474 §6.弧长的计算法…………………………………………498 §7.体积的计算法 4、萨 …512 §8.旋转曲面表面积的计算法 534 §9.矩的计算法.重心的坐标………………………546 §10.力学和物理学中的问题 …………………“557 §1.定积分的近似计算法……………………………570

第三章不定积分 §1.最简单的不定积分 1°不定积分的概念若f(x)为连续函数及F"(x)=f(x)则 fCr)dx= For)+c 式中C为任意常数 2°不定积分的基本性质 〔Jr()d)=/(2)dr;o)a0x2)=0)+c (B)1Af(x)dx=A|f(x)dx(A=常数); 3°最简积分表: 十C(n≠-1) d=lnlx|+C(x≠0) d arctgx+c arcctgr+C; d +C dr arcsinx+C, -arccos+C ln|x+√x2士1|+ x2±1

W. adr=ina+c(a>0,a1) fe'drse'+c Ⅵ. sin.xdx Ⅸ. cos rdr=sinx+C; d ctg+C cos- XE.shad chx+C, chxdx=shx+C shi hr+c dr char=thr+c 4°积分的基本方法 (a)引入新变数法若 f(r)dx=F(r)+c 则 f(a)da=F(u)+C,式中a=fx) (6)分项积分法若 f(x)=f(x)+f2(x) 则 j/a减k=j/(xdx+J/xx ()代入法假设 x=t),式中y(t)及其导函数φ'(t)为连续的, 则得 f(r)dx=co(2)3o'(r)de (r)分部积分法若v和v为x的可微分函数, 则 LE正

利用最简积分表,求出下列积分 1628.(3-x2)3dx. 解(3-x2)4dx=(27-27x2+9 27x-9x3+÷x5 +C. 1629 解1x2(5-x)dx (625x2-500x3+150x4-20x5+x6)dx x3-125x1+30 10 + c 1630.(1-x)(-2x)(1-3x)dx 解(1-x)(1-2x)(1-3x)dx =(1-6x+11x2-6x3)dx x-3x+1x3-3x+C 1631. 解 12 本章在叙述习题及其解答过程中,凡出现的函数,无论是被积函数还是原 函数,均默认是在有意义的定义域上进行的例如最简积分表中里当n≤-2 时,要求x≠0pⅣ中要求|x!≠l;V中要求x|1;等等,就未加声明.在题解中也有相当多的类似情况.因此,如无特别声 明在一般情形下,这些定义域是很容易被读者确定的此处就不再予以一一指 明 题解》编者注

2Inxl+r+c 1632 +2+23|d 解(2++别4g=h1-=-2+c 1633. 1 d 解 (r2+r-t)dx √x+2√x+ 1634 d 解 (x}-2x+x-÷)d xJx-姓4x%x+4yx+C. 5 1635 解 I)dr 3x-3+3 1十 52 8x/+C 1636 1l√x√

解|1 dr x 4 4(x2+7) +4x=￥+C C 7√ 1637. $3I)dx. √2x-3x)2 (2-2972x"+v9r-i) dx 12972x+3y9x2 5 1638.(√x+x+2 解 dr f(a+3 nr C 4.I 1639 d 1+ 解 dr 1 +1 dx arctic 1640 ac 1 d

+c 1641 解 P∞。 2In 1642. ∫士A一二a 解 x2+ √1一x√+x arcsinx In(x + v1+r2)+c 1643. 解 1 √x2-i√x2+1 dx n\rt +C 1 1644.(2x+3)adx. 解(2+3)dx=(4+2·62+9)dx 6 +。十C Ing 6

164 解∫1024-21-() n5(3+2(2 1646. 1 d 解 +1)dx 1647.(1+sinr cosr)dr. N(1+sint+cosx)dx =x-cos+sinr+C 1648.「√1-sm2adx 解 nardo cos. I Csgn(cosT- sinx))(cosr- sinr)dr (sinx cosr).sgn(cosr- sinr)+C. 1649 ct2 g tdl. t ctg2xdx= (csc2x- 1)dx=-ctgr-r+C 1650. tg'xd x m tg2xdx =(sec2x-1dx=tgr -r+C

1651.(ash.x +bch.x)dx f (ushr +bch)dx=achx +bshx+C 1652. th2xdr 解|th2xd th 2x hx+C 1653. cth2rdx 解cth2xd thx+c 1654.证明:若 f(x)d F(r)+c 则 Caa t b)dx =FCar+6)+c(a+ox 证由f(x)dx=F(x)+C得知F(x)=f(x).因 而有F(ax+b)-/(ax+6),且(axx+b) F(ax+b),于是 di(d F(ax+b))=f(ax+6) 所以 (ax 6)dx=F(ax+b)+ 求出下列积分: 1655