太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.6）方向导数与梯度

ut ed 第六节方向异数与梯度 问题的提出 方向导数的定义 方向导数的计算 梯度的概念

第六节 方向导数与梯度 一 问题的提出 二 方向导数的定义 三 方向导数的计算 四 梯度的概念

问题的提出 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标 原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行 上一页下一页返回

实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标 原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行． 一、问题的提出

二、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题 设函数z=∫(X,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) 内有定义,自点P引射线l 设x轴正向到射线l的转角 为,并设P(x+△x,y+4y) 为l上的另一点且P∈U(p).(如图) 上一页下一页返回

讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z = f (x, y) o y x  l • P x y • P • （如图） 内有定义，自点 引射线 ． 的某一邻域 设函数 在点 P l P(x, y) U(P) z = f (x, y) , ( , ) l P U( p). P x x y y x l +  +  为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角   二 、方向导数的定义

PP|p=√(Ax)2+(4y), 且Δz=∫(x+Ax,y+^)-∫(x,y) △z 考虑 当P”沿着趋于P时, linf(x+Ay+y)-f(x,y是否存在? 上一页下一页返回

| PP |=  ( ) ( ) , 2 2 = x + y 当 P 沿着 l 趋于 P 时，   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → 是否存在？ 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 考虑  z

定义函数的增量f(x+Ax,y+4)-f(x,y)与 PP两点间的距离p=√(Δx)2+(y)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数 记为f=1imf(x+Ax,y+A)-f(x,y) Olp→0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向1={】,0} y轴正向22={0,的方向导数分别为x, 沿着轴负向、y轴负向的方向导数是一∫x,fy 上一页下一页返回

{1,0} 1 e = r 依定义，函数f (x, y) 在点P沿着x轴正向 、 y 轴正向 {0,1} 2 e = r 的方向导数分别为 x y f , f； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . . ( , ) ( , ) lim  0  f x x y y f x y l f +  +  − =   → 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP = x + y 2 2  ( ) ( ) 记为 f (x + x, y + y) − f (x, y)

三、方向导数的计算 定理如果函数=f(X,y)在点P(x,y是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都 存在,且有99 cOS+”S 其中卯为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 af f(x+Mr,y+y)-f(x,y)=Ax+y Ay+o(p) ax 两边同除以p,得到 上一页下一页现回

证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o() y f x x f f x x y y f x y  +    +   +  +  − = 两边同除以  , 得到 三、方向导数的计算 定理 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向L 的方向导数都 存在，且有 ， 其中 为 x 轴到方向L 的转角． cos sin y f x f l f   +   =  

f(x+△x,y+4y)-f(x,y)可Ax可fA,O() ax p Yep 故有方向导数 of f(x+Ax,y+Ay)-fc al p-0 了f Cospp+sin pp ax 上一页下一页返回

cos sin      ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f +     +     = +  +  − 故有方向导数   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f   +   = =   l f

例1求函数乙=xe2在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数 解这里方向7即为PQ={1,1} 故x轴到方向的转角φ T z 2 e xe 2 Ox(:0) (1,0) (1,0) (1,0) 所求方向导数 元 元 2 COS(-)+2sin(-,)= 上一页下一页现回

例 1 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l r的转角 4 p  = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2, (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( p p = − + −   l z . 2 2 = − 这里方向 l r 即为 PQ = {1,−1}

例2求函数∫(x,y)=x2-xy+y在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 f (1, 1)cos a+f(1,1)sina =(2x-y)au cos a+(2y-x) an sina 上一页下一页返回

(1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = +   解 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y  + y − x  例2 求函数 在点 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l r 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 2 2 f (x, y) = x − xy + y (1,1)

=cOa+Sina=251×丌 故(1)当a=时,方向导数达到最大值2; (2)当a=57时,方向导数达到最小值-2 3)当=3和=7听时,方向导数等于0 上一页下一页返回

= cos + sin ), 4 2sin( p =  + 故（1）当 4 p  = 时， 方向导数达到最大值 2; （3）当 4 3p  = 和 4 7p  = 时，方向导数等于0. （2）当 4 5p  = 时，方向导数达到最小值- 2