太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章 定积分的应用 定积分的元素法

ut ed 第六章定积分的应用 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式, 更重要的在于介绍运用元素分析法解决间题 的定积分的方法

第六章 定积分的应用 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式， 更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题 的定积分的方法

ut ed 第一节定积分的元素法 问题的提出 二定积分的元素法 三小结

第一节 定积分的元素法 一 问题的提出 三 小结 二 定积分的元素法

问题的提出( Introduction) 考虑曲边梯形面积计算问题 曲边梯形由连续曲线y↑ y=∫(x) y=∫(x)(f(x)≥0)、x 轴与两条直线x=a x=b所围成。 bx A=f(x)dx. 上一页下一页返回

考虑曲边梯形面积计算问题 ( ) .  = b a A f x dx 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f ( x)( f ( x)  0)、x 轴与两条直线 x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x) 一 问题的提出(Introduction)

面积表示为定积分要通过如下步骤: (1)把区间[ab分成n个长度为△x1的小区间 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,舞 个小窄曲边梯形的面积为A4,则A=∑△1; (2)计算△4的近似值△4≈∫(5),老,∈x (3)求和,得的近似值≈∑f(5)△x; i=1 (4)求极限,得A的精确值. n A=im∑f)x=f(x)d. 上一页下一页返回

面积表示为定积分要通过如下步骤： 2） （1）把区间[a,b]分成 n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = =  n i A Ai 1 ; ( ) , i i xi （ 计算Ai的近似值 A  f    i xi； （3） 求和，得A的近似值 i i； n i A   f x = ( ) 1  （4） 求极限，得A的精确值. i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   ( ) .  = b a f x dx

比较mn∑f(5A与f(x)x 两式,我们发现一个事实,即左边的极限式子与右边 的定积分表达式有很好的对应。我们让 ∑对应 而使f(41)△x1对应f(x)x 要想得到一个定积分表达式,只要求出被积 表达式f(x)x,这就是定积分的元素法 上一页下一页返回

要想得到一个定积分表达式，只要求出被积 表达式 f ( x)dx, 这就是定积分的元素法.  b a 与 f (x)dx 两式，我们发现一个事实，即左边的极限式子与右边 的定积分表达式有很好的对应。我们让 = → n i 1 0 lim   b a 对应 i xi 而使f ( ) 对应f (x)dx = → n i 1 0 lim  i xi 比较 f ( )

二定积分的元素法( Element Method) 般来讲,当所求量符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关 的量; (2)U对于区间[a,b]具有可加性,就是说, 如果把区间[a,b分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5)△x; 就可以考虑用定积分来表达这个量U 上一页下一页返回

一般来讲，当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量 U . 二 定积分的元素法（Element Method）

元素法的一般步骤 1)根据问题的具体情况,选取一个变量,例如 x为积分变量,并确定它的变化区间[4,b; 2)在a,b中任取一小区间并记为 Ix,x+dx],求出相应于这小区间的部分量△ △U的近似值如果能近似地表示为{a,b上 的一个连续函数在x处的值f(x)与的乘 积,就把f(x)称为量U的元素且记作 lU,即U=f(x)dx; 上一页下一页返回

元素法的一般步骤: 1）根据问题的具体情况，选取一个变量，例如 x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）在[a,b]中任取一小区间并记为 [x, x + dx]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 能近似地表示为[a,b]上 的一个连续函数在 x 处的值 f (x) 与dx 的乘 积，就把 f (x)dx称为量 U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx； U

3)以所求量U的元素f(x)为被积表达式, 在区间a,b上作定积分,得U=f(x), 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 常见应用方向有: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 功;水压力;引力等 上一页下一页返回

3）以所求量U 的元素 f (x)dx为被积表达式， 在区间[a,b]上作定积分，得 =  b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 常见应用方向有： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力等．

三小结( summar y) 元素法的提出、思想、步骤. (注意微元法的本质) 上一页下一页返回

元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 三 小结（summary)