太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高阶导数

ut ed 第四节高阶数 一高阶导数的定义 二高阶导数的求法 三莱布尼兹公式 四小结

第四节 高阶导数 一 高阶导数的定义 二 高阶导数的求法 三 莱布尼兹公式 四 小结

阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 设S=S(t),则速度为v(t)=s(t) at 加速度m是速度对时间t的变化率, a(t)=v(t)=|s(t) 定义如果函数f(x)的导数f(x)在x点处可导,即 ((r=lim f(x+△x)-f(x) △x→>0 存在,则称∫(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数 上一页下一页回

问题：变速直线运动的加速度 dt ds 设 s = s(t),则速度为v(t) = s(t) = a(t) = v(t) = [s(t)]. 加速度a是速度v对时间t的变化率， ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) 0 存在，则称 为函数 在点 处的二阶导数 定义 如果函数 的导数 在 点处可导，即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x     +  −    =   → 一、高阶导数的定义

d 7∫(x) 记作∫"(x),y,2或2 二阶导数的导数称为三阶导数,∫"(x),y L 三阶导数的导数称为四阶导数,f((x),y",dx 般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数记作 f(x), y(n, a yu f(r) 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地f(x)称为零阶导数f(x)称为一阶导数 上一页下一页返回

记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f  x y 或 函数 的 阶导数,记作 一般地,函数 的 阶导数的导数称为 f x n f x n ( ) ( ) −1 . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地,f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f  x y , 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y

二、高阶导数求法举例 由高阶导数的定义还步求高阶导数 例1设y=ax2+bx+c,求y,y”,y(, 解y=2ax+b,y"=2a,y=0 例2设y=a2,求y 解y=a:lna,y”=a(na)2 ,y=a(na)" 上一页下一页返回

二、 高阶导数求法举例 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 解 例1 , , , . 2 (n) 设 y = ax + bx + c 求y y  y 2 , 2 , 0. ( )  = +  = = n y ax b y a y 例2 , . x (n) 设 y = a 求 y 解 , (ln ) . ln , (ln ) , ( ) 2 n x n x x y a a y a a y a a =  =  = 

例3设y=x2(a∈R),求y( 解y=ax2al ,=(ac)=a(a-1)xa- y"=(a(a-1)x2y=a(a-1)(a-2)x3 y)=a(a-1)…(a-n+1)x“"(n≥1) 若a为自然数n,则 (n n (n+1) y (n.y=0. 上一页下一页返回

例 3 ( ), . (n) 设 y = x   R 求y  解 −1  =  y x ( )1  =  − y x 2 ( 1) − = −    x 3 ( 1)( 2) − = − −  ( ( 1) )    x 2  = −  − y   x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − +  − y n x n n  n     若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) =  + y n n = 0

例4设y=sinx,求y) 解J=C0Sx=sin(x+。) y=coS(x+a=sin(x++=sin(x+2.) 2 2 元 y"=c0s(x+2·)=sin(x+3·) y=sin(x+n·) 2 同理可得cosx))=cos(x+n 2 上一页下一页返回

例4 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin(  = x + ) 2 cos(  y = x + ) 2 2 sin(   = x + + ) 2 sin( 2  = x +  ) 2 cos( 2  y = x +  ) 2 sin( 3  = x +   ) 2 sin( ( )  y = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n n 同理可得

例5设y=lm(1+x)2求y1m 解 y-1+x (1+x)2 2 3 (1+x)3 (1+x) ym=(-1)1(n-1)! (1+b(n≥1,0!=1) 上一页下一页返回

例 5 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 x y +  = 1 1 2 ( 1 ) 1 x y +  = − 3 ( 1 ) 2!x y +  = 4 ( 4 ) ( 1 ) 3!x y + = −   ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1  = +− = − − n x n y n n n

三、莱布尼兹公式 设函数u和具有n阶导数,则 (1)(u±p)()=n()±v() (2)(C)()=Cu(n (3)(y)=n"+mny+"h-"p n(n-1)…(n-k+1). (n-k),,(k) +∴+Lp ! ∑Cnu( =0 上一页下一页返回

三、莱布尼兹公式 设函数u和v具有n阶导数,则 ( ) ( ) ( ) (1)( ) n n n u  v = u  v ( ) ( ) (2)( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − =  + + − − + +  −  = +  +  

例6设y= e cosx,求y1 解y=(e) cosx+c(e)“(cosx)y+ C(e)s)(cos x)"+C(e)( cosx)+ C(e) (cos x) 4) e(c0S七)) e lcos x x +10(cos x) +10sin x+5cos x+(-5sin x) e(sin x-4 cos x) 4e(sin x-cos x). 上一页下一页返回

例 6 设 y e x x = cos , 求 . ( 5 ) y 解 4 (sin cos ). (4sin 4cos ) 10sin 5cos ( 5sin )] [cos 5sin 10( cos ) ( ) (cos ) (cos ) ( ) (cos ) ( ) (cos ) ( ) cos ( ) (cos ) 4 (4) (5) 5 35 2 (3) 5 1 (4) 5 (5) e x x e x x x x x e x x x C e x e x C e x C e x y e x C e x x xx x x x x x x = − = − + + + − = − + −  + +   +  = +  +

例7设y=xe2,求y10 解设u=e2,v=x2,则由莱布尼兹公式知 20)=(e2)20·x2+20(e2)0).(x2 20(00-1),2x (x2)"+0 2! 202x x2+20·21c2x.2x 20·19 1018m2x 2 2 =2e2(x2+20x+95 上一页下一页返回

例 7 , . 2 2 (20) y x e y x 设 = 求 解 设 , ,则由莱布尼兹公式知 2 2 u e v x x = = ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (1 8) 2 (2 0) 2 (2 0) 2 2 (1 9) 2   + − +=  +   e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 1 8 2 2 0 2 2 1 9 2   +=  +   x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x