太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）隐函数及参数方程确定函数的导数

ut ed 第五节隐函数及参数方程确定 函数的导数 隐函数求导法 二对数求导法 三参数方程确定函数的导数 四小结

第五节 隐函数及参数方程确定 函数的导数 一 隐函数求导法 二 对数求导法 三 参数方程确定函数的导数 四 小结

隐函数的导数 1定义:由二元方程F(x,y)所确定的函数y=y(x) 称为隐函数y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0-y=∫(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 例如:xy-e+e=0,如何求导? x3+y3=3xy,如何求导? 上一页下一页返回

1.定义: 称为隐函数. 由二元方程F(x, y)所确定的函数 y = y(x) y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 如何求导? 例如： − + = 0, 如何求导? x y xy e e 3 , 3 3 x + y = xy 一、隐函数的导数

2.隐函数求导法 方法一、方程两边微分,然后解出导数. 方法二、方程两边对C求导数,而将y 为中间变量,然后解出导数 例1设x3+y3=3xy,求 解方法一方程两边微分 3x'dx+ydy=3ydx+ 3xdy 上一页下一页返回

2.隐函数求导法 方法一、方程两边微分，然后解出导数. 例1 设 求 . dx dy 3x dx 3 y dy 3 ydx 3xdy 2 2 + = + 解 方法一 方程两边微分 3 , 3 3 x + y = xy x y 为中间变量，然后解出导数. 方法二、方程两边对 求导数，而将

(-x)dy=(y-x dx 小yy-x y-x 方法二方程两边求导 3x2+3y2y'=3(y+xy) dy 注意:隐函数的导数仍是隐函数 上一页下一页返回

. ( ) ( ) 2 2 2 2 y x y x dx dy y x dy y x dx − −  = − = − 方法二 方程两边求导 . 3 3 3( ) 2 2 2 2 y x y x dx dy x y y y xy − −  = +  = +  注意：隐函数的导数仍是隐函数

例2求由方程xy-e+e"=0,所确定的隐函数 J的导数 dy dy 0 y 解方程两边对x对导, dy y+x e te 0 d y 解得 e -y ,由原方程知x=0,y=0, dx xte 中1e-y x+e 上一页下一页返回

例2 求由方程 − + = 0, x y xy e e 所确定的隐函数 , . x=0 dx dy dx dy y 的导数 解 方程两边对 x 对导， + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , x x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 1. 0 0 0 = + −  = = = = x y x x x x e e y dx dy

dy dy 例3x-y+siny=0,求 dxdx 解方程两边对x对导, 1-y+cosy·y=0, dy J dx 20cos y ,再对x求导 dy d 2 2sin y dy )= dx dx 2-cos y(2-cos y)dx sin y (2-cos y) 上一页下一页返回

例3 sin 0, 2 1 x − y + y = 求 , . 2 2 dx d y dx dy 求导， 解 方程两边对 x 对导， , 20cos 2 cos 0, 2 1 1 dx y dy y y y y   = = − +   = 再对 x . (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin ) 2 cos 2 ( 3 2 2 2 y y dx dy y y dx y d dx d y − − =  − − = − =

二、对数求导法 1对数求导法 先在y=∫(x)两边取对数,然后利用隐函数的 求导方法求出y的导数 2适用范围: 求幂指函数(x)和多个函数相乘的导数 上一页下一页返回

1 对数求导法 2 适用范围: 先在 两边取对数,然后利用隐函数的 求导方法求出y的导数. y = f (x) 求幂指函数 和多个函数相乘的导数. ( ) ( ) v x u x 二、对数求导法

幂指函数求导: y=(x)y)(u(x)>0) 先两端取对数Iny=vlnl 然后两端对x对导,,Imp d(v. Inu 得,y=pnl+ν 所以, y=u(x) "v(x). Inu(x)+ v()u(x) u(r) 上一页下一页返回

幂指函数求导： ( ) ( ( ) 0) ( ) y = u x u x  v x 先两端取对数 ln y = v lnu 然后两端对 ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x y u x v x u x v x   =   + 对导， dx d v u y dx d ( ln ) ln  = 得， ln , 1 u u y v u v y   =  + 所以， x

例4设y=xm(x>0),求y 解等式两边取对数得Iny= sinx Inx 上式两边对x求导得 y=cos x Inx+sinx .y=y(cos xIn x+sinx SInd =x(cosx·lnx+ 上一页下一页返回

例4 ( 0), . sin y x x y x 设 =  求  解 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x x y x x x y 1 cos ln sin 1  =  +  ) 1 (cos ln sin x  y = y x  x + x  ) sin (cos ln sin x x x x x x =  + 上式两边对 x求导得

y=x转化为指数函数y=ex 然后利用复合函数求导方法,求出 y的导数 (en=e(sin x In x e(cos xIn x+ sin x.) sInd x cosxInx+sinx 上一页下一页返回

) 1 (cos ln sin ( ) (sin ln ) sin ln sin ln sin ln x e x x x y e e x x x x x x x x = +   =  =  ) sin (cos ln sin x x x x x x =  + x y x sin = 的导数 然后利用复合函数求导方法，求出 y x x y e sin ln 转化为指数函数 =