太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分及其应用（5.1）定积分的概念

ut ed 第一节定积分的概念 引例 定积分的定义 三、定积分存在的条件 四、定积分的性质

一、引例 二、定积分的定义 三、定积分存在的条件 四、定积分的性质 第一节 定积分的概念

、引例 曲边梯形的面积 (1)曲边梯形在直角坐标系中,由三条直 线x=a,x=b,y=0及 条连续曲线y=f(x) y=f() 所围成的图形(如图5-1) 图5-1 上一页下一页现回

（1）曲边梯形 在直角坐标系中，由三条直 线 及 一条连续曲线 所围成的图形(如图5-1). x = a, x = b, y = 0 y = f (x) 一、引例 图5－1 a b x y o A y = f (x) 1、曲边梯形的面积

其中曲线弧为曲边梯形的曲边,区间b]为 曲边梯形的底边 (2)曲边梯形与矩形的差异矩形的高是不 变的,矩形的面积=底×高;曲边梯形在底边 上各点处的高f(x)在区间a,b]上是变化的, 曲边梯形的面积≠(b-a)/(x) (3)计算曲边梯形面积的方法 ()分割在区间[b]中任意插入n-1个 上一页下一页返回

上各点处的高 在区间 上是变化的， 曲边梯形的面积 . f (x) a,b  (b − a)f (x) （2）曲边梯形与矩形的差异 矩形的高是不 变的，矩形的面积＝底×高；曲边梯形在底边 其中曲线弧为曲边梯形的曲边,区间 为 曲边梯形的底边. a,b (i) 分割 在区间 a,b 中任意插入 n −1 个 （3）计算曲边梯形面积的方法

分点a<x<x,<…<x<h把区间[a,b] 分成n个小区间[a,x[x2x21,.[x1b]它们 的长度依次为 Ax=x-a,,=x2-xiArn,=b-x,_ 过每一分点作平行于 f( y轴的直线,把曲边 梯形分割成n个窄曲 边梯形(如图5-2). of ax xix,mb 图5-2 上一页下一页返回

过每一分点作平行于 轴的直线，把曲边 梯形分割成 个窄曲 边梯形 . y n (如图5－2) 1 1 2 2 1 1 , ,...  = −  = −  n = − n− x x a x x x x b x 分点 ，把区间 分成 个小区间 它们 的长度依次为 a  x1  x2 ... x n−1  b a,b n  , , , ,... , , a x1 x1 x2 x n−1 b y = f (x) a b x y o  i i x 1 x xi−1 xn−1 图5－2 y = f (x)

(i)近似在每个小区间[x1,xl任 取一点,以小区间x212x为底,f()为高 的窄矩形的面积来代替第i个窄曲边梯形的面 积A4,这样第i个窄曲边梯形面积△A的近 似值为△4≈f()x-x)=f(2)Ax Gi)作和将n个窄矩形面积相加,就得 到所求曲边梯形面积A的近似值, 即A≈∑/()x 上一页下一页现回

(ii) 近似 在每个小区间 上任 取一点 ，以小区间 为底， 为高 的窄矩形的面积来代替第 个窄曲边梯形的面 积 ，这样第 个窄曲边梯形面积 的近 似值为 .   i i x , x −1 i   i i x , x −1 ( )i f  i Ai i Ai ( )( ) ( ) i i i i i i A  f x − x = f x  −1  (iii) 作和 将 个窄矩形面积相加，就得 到所求曲边梯形面积 的近似值， 即 . n A ( ) i n i i A   f x =1 

(i)取极限令n个小区间中长度最大值 =max(Ax1,Ax2,Axn},当2→>0时(n→>∞ 取上述和式的极限,便得曲边梯形面积的精确 值A=im∑f(x -)0 上一页下一页返回

n  = maxx1 ,x2 ,...x n  →0 取上述和式的极限，便得曲边梯形面积的精确 值 ( ) i . n i i A  f x = → 1 0 lim   ＝ (n → ) （iv)取极限 令 个小区间中长度最大值 ，当 时

2变速直线运动的路程 (1)变速直线运动与匀速直线运动的差异 物体在[,72时间间隔中作匀速运动,其路程 =速度×时间;物体在同一时间间隔作变速运 动时,各时刻运动速度是变化的,即v=v(t), 其路程≠速度×时间 (2)计算变速直线运动路程的方法 (i)分割在时间间隔[722内任意插入 上一页下一页返回

(1)变速直线运动与匀速直线运动的差异 物体在 时间间隔中作匀速运动，其路程 ＝速度×时间；物体在同一时间间隔作变速运 动时，各时刻运动速度是变化的，即 ， 其路程 速度×时间.   1 2 T ,T v = v(t)  (2) 计算变速直线运动路程的方法 （i）分割 在时间间隔 T1 ,T2  内任意插入 2.变速直线运动的路程

n-1个分点,1<1<2<.<t21<1,把区 间[7,2分割成个小区间7,41[,t2][n122] 相应地各小区间的路程依次为S12△S2ASn (i)近似在每一时间间隔[1]上任 取一时刻T,用T时刻的速度v(T)代替乙14 上各时刻的速度,这样第i时间间隔内物体 上一页下一页返回

个分点， ,把区 间 分割成 个小区间 相应地各小区间的路程依次为 . n −1 1 1 2 1 2 T  t  t  ... t n− T   1 2 T ,T n       1 1 1 2 1 2 T ,t , t ,t ,... t n− ,T n s ,s ,...s 1 2   i i t ,t −1 Ti Ti ( ) Ti v   i i t ,t −1 i (ii)近似 在每一时间间隔 上任 取一时刻 ，用 时刻的速度 代替 上各时刻的速度，这样第 时间间隔内物体

所经过的路程As的近似值为∧s,≈(T)At (ii)作和将n段时间间隔的路程的近 似值相加,就得到所求变速直线运动路程S的 近似值,即S≈∑v(Z)△1 (iv)取极限令=max{△1,△2,△tn}, 当九→>0时,取上述和式的极限,便得变速直 线运动路程的精确值S=lim∑v()A2 -)0 上一页下一页返回

i s ( ) i i i 所经过的路程 的近似值为 s  v T t . S (iii)作和 将 段时间间隔的路程的近 似值相加，就得到所求变速直线运动路程 的 近似值，即 . n  ( ) =   n i i i S v T t 1  = maxt 1 ,t 2 ,...t n  →0  ( ) = → =  n i i i S v T t 1 0 lim  (iv)取极限 令 ， 当 时，取上述和式的极限，便得变速直 线运动路程的精确值

二、定积分的定义 1定义设∫(x)是定义在区间[a,小上的有界函 数,在b]中任意插入n-1个分点,相应地把 区间[a,b分成n个小区间a,x1x,x2].[xn,b 各小区间的长度依次为 Ax1=x1-a,△x2=x2-x1,…Axn=b-xn1,在每 个小区间[x1,x上任取一点点(x1≤5≤x1), 上一页下一页返回

a x  x x  x b n , , , ,... , 1 1 2 −1 1 1 2 2 1 1 , ,... x = x − a x = x − x xn = b − xn− 1.定义 设 是定义在区间 上的有界函 数，在 中任意插入 个分点，相应地把 区间 分成 个小区间 各小区间的长度依次为 ,在每 个小区间 上任取一点 ， f (x) a,b a,b n n −1 a,b   xi xi , −1 ( )  i xi−1   i  xi 二、定积分的定义