太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.2）偏导数

ut ed 第二节偏导教 偏导数的定义及其计算法 高阶偏导数

第二节 偏导数 一 偏导数的定义及其计算法 二 高阶偏导数

、偏导数的定义及其计算法 偏增量: 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域 内有定义P(x+△x,y)为该邻域内的点 称函数的增量f(x+Ax,y)-f(x,y)为关于x 的偏增量,称函数的增量∫(x+Ax,y)-f(x,y) 为y关于的偏增量 上一页下一页返回

一、偏导数的定义及其计算法 偏增量： 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的某邻域 内有定义． P(x + x, y) 为该邻域内的点． 称函数的增量 f (x + x, y) − f (x, y) 为关于 的偏增量， x 称函数的增量 f (x + x, y) − f (x, y) 为 y 关于的偏增量．

定义设函数z=∫(x,y)在点(x0,y)的某一邻 域内有定义,当y固定在y而x在x处有增量 Δ时,相应地函数有偏增量 f(xo+Ax, yo)-f(o, yo) 如果lm f(x。+△x,y)-f( 020存在,则称 △x-0 △x 此极限为函数z=∫(x,y)在点(x0,y)处对x的 偏导数,记为 上一页下一页返回

定义 设函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 0 y 而x 在 x0处有增量 x时，相应地函数有偏增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y 如果 存在，则称 此极限为函数 z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x的 偏导数，记为 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0

Z Ox J= xx=x 或∫x(x0,y) X=x y=yo y=yo 同理函数z=∫(x,y)在点(x0,y)处对y的偏一 导数,可定义为 f(xo, yo+Ay)-f(xo, yo) △y-→>0 △ af x-xo y x=xo 或f(x,y) y=y y=yo 上一页下一页返回

同理函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对 y的偏 导数，可定义为 ， ， 或 . 0 0 y y x x x z = =   0 0 y y x x x f = =   0 0 y y Z x x x = = ( , ) 0 0 f x y x 0 0 y y x x y z = =   0 0 y y x x y f = =   0 0 y y Z y x x = = ( , ) 0 0 f x y 或 y y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0

如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x,y的函数,它就称为函数z=f(x2y)对 自变量x的偏导数, 记作Oz of 或f(x,y) 类似可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 f z,或f(x,y) 上一页下一页返回

记作 ， ， 或 . x z   x f   Z x f (x, y ) x 如果函数 在区域 内任一点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 的函数，它就称为函数 对 自变量 的偏导数， z = f (x, y) D (x, y) x x , y z = f (x, y) x 类似可定义函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导 数，记作 ， ， 或 . y z   Z y f (x, y ) y y f  

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数l=∫(x,y,x)在(x,y,z)处 f(x,,3)=mmf(x+,)-∫(x,y,z) △v→>0 (x,y, 4)=lim f(x,y+△y,z)一f(x,y,z) △y→>0 △ f(x, ] 2)=lim /(x, 3,2+ Az)f(x, y, z) 0 上一页下一页返

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  →

例1求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解 z =2x+3y; ax 3x+2y 2+1=2×1+3×2=8, 2 az 3×1+2×2=7 y=2 上一页下一页返回

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2)处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例2设z=y(x>0,x≠1) 求证: x az1 az 2z y Ox Inx ay 证 =yx =x nx x az az x yx+ xnx yox Inx nx =x)+x=2 上一页下一页返回

例 2 设 z = y (x  0, x 1) x 求证： z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   x x x yx y x y z x x z y x x y ln ln 1 ln 1 1 = +   +   − 证 −1 =   y yx x z x x y z y = ln   x x z y y = + = 2

例3设z= arcsin 求 x O 解 z ax 2 2 √x+y 2 2 r t y (√y2=y (x2+y 2、3 x十 上一页下一页返回

解 = xz    +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y+ = ( | |) 2 y = y 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 ， . xz  yz 

2 r t y 2 xty 2 2 x2+y2(-x lyl√(x2+y2)3 2 ign (y≠0) 不存在 ay x≠0 0 上一页下一页现回

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．