太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.3）三重积分的概念及其直角坐标计算法

ut ed 第三节三重积分的概念及其 直角坐标计算法 三重积分的定义 二问题的提出 直角坐标下的三重积分计算 小结

第三节 三重积分的概念及其 直角坐标计算法 一 三重积分的定义 二 问题的提出 三 直角坐标下的三重积分计算 四 小结

一、问题的提出 例非均匀物体的质量 设有一质量非均匀分布的物体,在空间直角坐标系中 占有空间区域2,体密度p(x,y,z是.2上的连续正值函数 求此物体的质量 将区域?分割成n个小块△v,当△v的直径很小时,在v 内任取一点(1,1,51,则(51,41,51)△v就是△v质量的近似 值,于是整个物体的质量的近似值为 M≈∑(5,4,51)△v 当所有△的最大直→0时,和式的极限就是本的质量 M=im∑p(5,)A 1→0 上一页下一页现回

一、问题的提出 例 非均匀物体的质量 . , , ) 求此物体的质量 占有空间区域 ，体密度 （ 是 上的连续正值函数， 设有一质量非均匀分布的物体，在空间直角坐标系中   x y z  , , ), , , ) , 值，于是整个物体的质量的近似值为 内任取一点（ 则 （ 就 是 质量的近似 将区域 分割成 个小块 当 的直径很小时，在 i i i i i i i i i i i v v n v v v              当所有vi 的最大直径 → 0时，和式的极限就是物体的质量 = → = n i i i i i M v 1 0 lim   , , )  （ =   n i i i i i M v 1 （ , , )

二、三重积分的定义 设f(x,y,z是空间有界闭区域_上的有界 函数,将闭区域Ω2任意分成n个小闭区域△v1, △2,…,△vn,其中△v表示第个小闭区域,也表 示它的体积,在每个△上任取一点(51,m7,)作 乘积f(5;,71,5)·△v;,(i=1,2,…,m),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为 ∫ f(x, y, z)di 上一页下一页现回

设 f (x, y,z)是空间有界闭区域上的有界 函数，将闭区域任意分成 n个小闭区域 1 v ， 2 v ,, n v ，其中 i v 表示第i个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , )  i i  i 作 乘 积 i i i i f ( , , ) v ，(i = 1,2,,n)，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y,z)在闭区域上 的三重积分，记为   f (x, y,z)dv, 二、三重积分的定义

即∫(x,y)hv=lm∑f(,n2)△ 其中c叫做体积元素 1)在直角坐标系中,如平行于坐标面 的平面来划分9,则△v=△xAyA=adyz 由此三重积可记为 f(,y, z)dxdydz=lim>f(s, ni, Si )At →>0 2)密度为0(x,yz)的物体的质量表达为 M=∫x,atdh Q 其中ddy叫做直角坐标系中的体积元素 上一页下一页返回

即   f (x, y,z)d v i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其中dv 叫做体积元素 . , 1) 的平面来划分 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 v x y z dxdydz. 则  i =  j  k  l = 其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素. 2)密度为(x, y,z)的物体的质量表达为  =  M (x, y,z)dxdydz 由此三重积可记为 .   f (x, y,z)dxdydz i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0    

、三重积分的计算(直角坐标系下) 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域g在xoy 面上的投影为闭区域D,2 z=2(x,y) S1:x=(x,y), S 2(x,y), 过点(x,y)∈D作直线, k=础x) 从z,穿入,从z,穿出 y2(x) 上一页下一页现回

直角坐标系中将三重积分化为三次积分． x y z o  D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 如图， D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域  在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出． 三、三重积分的计算（直角坐标系下）

先将x,y看作定值,将f(x,y,z只看作z的函数, 则F(x,y)= 2(x,y) f(x,v, z)dz GI(r,y) 计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 2(x,y) F(x, y)do f(,v, zdz do GI(x,y) D:y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b, 得b=(t[3(3 (x,y) ∫(x,y,z)dk y1(x) GI(x,y) 类似可以得 d f(x,y, z)di d 小yf(x,y,x)a y1(z)ˇJx1(z,y) 上一页下一页返回

则 先 将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作z的函数，  = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1    = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x  y  y2 x a  x  b 得 =   f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1    b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 类似可以得 ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1    d c y z y z x z y x z y = dz dy f x y z dx   f (x, y,z)dv

例1化三重积分Ⅰ=(x,y,x)d为三 次积分,其中积分区域?2为由曲面z=x2+2y2 及z=2-x2所围成的闭区域 =x2+2 2 0 0.5 解由 2-y 2 得交线投影区域 2 x十 < 上一页下一页现回

例 1 化三重积分   I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中积分区域 为由曲面 2 2 z = x + 2 y 及 2 z = 2 − x 所围成的闭区域. 解 由    = − = + 2 2 2 2 2 z x z x y , 得交线投影区域1, 2 2 x + y 

1<x<1 故!2:{-√1-x2≤y≤√1-x2, x+2y2≤z≤2-x2 dy, f(x,y,z)d3 上一页下一页返

故 ：      +   − − −   − −   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z x x y x x , ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 −  2  − + − − −  = x x y x x I dx dy f x y z dz

例2化三重积分Ⅰ=(x,y,z)d为三 次积分,其中积分区域 Q为由曲面z=x2+y y=x2,y=1,z=0所围 成的空间闭区域。如图, 解Ω:0≤z≤x2+y2 0.5 x2≤ν≤1,一1≤x≤1 ∫门 小y."f(x,y,z)d 0 上一页下一页返回

例2 化三重积分  I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域 为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1, z = 0所围 成的空间闭区域. −   + = 11 0 1 2 2 2 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz. 解 1, 1 1. : 0 , 2 2 2   −      + x y x z x y 如图

例3计算三重积分∫xtdh,其中g为三 个坐标面及平面x+2β+z=1所围成的闭区城 解先沿Z轴方向积分,得 x-zy 其中D是0x面上,由坐标轴 2 与直线+2y=1所围成的区域n1f D..:0≤y≤ ,l≤x≤1 2 上一页下一页回

  xdxdydz , 1 2  0 − − = Dx y x y dxdy xdz x o z y 2 1 1 1 例 3 计 算 三 重 积 分 ，其中 为 三 个 坐 标 面 及 平 面 所 围 成 的 闭 区 域 .   xdxdydz  x + 2 y + z = 1 解 先 沿Z轴方向积分，得 与直线 所围成的区域。 其 中 是 面上，由坐标轴 x + 2y = 1 D Oxy xy ,1 1 2 1 : 0   −   x x D y xy 1 y 2 1 x o