浙江大学：《数学建模 Mathematical Modeling》课程教学资源（课件讲稿）第五章 初等模型（III）

初等模型(I

初等模型 (III)

4.双层玻璃窗的功效

4. 双层玻璃窗的功效

问双层玻璃窗与同样多材料的单层 题玻璃窗相比,减少多少热量损失室 内 室外 热量传播只有传导,没有对流 d 假设 Q1 T,T2不变,热传导过程处于稳态 材料均匀,热传导系数为常数 墙 建 室 室 模Q~单位时间单位面积传导的热量内 2d+ △T~温差,d材料厚度,k热传导系数 △T g2 热传导定律Q=k 墙

问 题 双层玻璃窗与同样多材料的单层 玻璃窗相比，减少多少热量损失 d d 墙 l 室 内 T1 室 外 T2 热量传播只有传导，没有对流 假 Q1 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 材料均匀，热传导系数为常数 2d 墙 室 内 T1 室 外 T2 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量 ∆T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 Q2 d T Q k ∆ 热传导定律 =

建模记双层玻璃窗传导的热量Q1 T内层玻璃的外侧温度 Tb-外层玻璃的内侧温度 室T。1、 内 d 室外 k1~玻璃的热传导系数 k2空气的热传导系数 墙 T-T T-T T-T o,=k T-T h- h k2

建模 记双层玻璃窗传导的热量Q1 d d 墙 l 室 内 T1 室 外 T2 Q1 Ta Tb Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 d T T k l T T k d T T Q k a a b b 2 2 1 1 1 1 − = − = − = d l h k k s h d s T T Q k = = + − = , , ( 2) 2 1 2 1 1 1

建模记单层玻璃窗传导的热量Q2「室 室 T.-T T-T2内 Q,=k 2 21=K, 2 d d(s+2) 2d+ 22 双层与单层窗传导的热量之比 Q12 墙 20+2,=h k d 2<2 k14x1038×103,k25×104,k1/k2=16~32 对Q比Q2的减少量 Q 作最保守的估计, h Q28h+1 取k1/k2=16

记单层玻璃窗传导的热量 Q 2 d T T Q k 2 1 2 2 1 − = 2 d 墙 室 内 T1 室 外 T2 Q 2 ( 2 ) 1 2 1 1 + − = d s T T Q k 建模 双层与单层窗传导的热量之比 d l h k k s h Q s Q = = + = , , 2 2 2 1 2 1 Q 1 < Q 2 k 1=4 ×10-3 ~8 ×10-3, k 2=2.5 ×10-4, k 1 / k 2=16 ~32 对 Q 1 比 Q 2的减少量 作最保守的估计， d l h Q h Q = + = , 8 1 1 2 1 取 k 1 / k2 =16

模型应用Q11 Q28h+1 取h=W=4,则g1Q2=0.03 01102 即双层玻璃窗与同样多材 0.06 料的单层玻璃窗相比,可 减少97%的热量损失 0.03 0.02 结果分析 246h Q1Q2所以如此小,是由于层间空气极低的热传 导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁….损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大

模型应用 d l h Q h Q = + = , 8 1 1 2 1 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 h Q1/Q2 0 2 4 0.06 0.03 0.02 6 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比，可 减少97%的热量损失。 结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大

5.录像机计数器的用途

5. 录像机计数器的用途

经试验,一盘标明180分钟的录像带 趣从头走到尾,时间用了184分,计数 器读数从000变到6061。 在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? 思考计数器读数是均匀增长的吗? 要求不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系

经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061 。 问 题 在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下 1小时的节目？ 思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系

观察计数器读数增长越来越慢 问题分析录像机计数器的工作原理 左轮盘 右轮盘 0000 计数器 主动轮 录像带磁头 压轮 录像带运动方向 录像带运动右轮盘半径增大“计数器读数增长变慢 录像带运动速度是常数 右轮转速不是常数

观察 计数器读数增长越来越慢！ 录像机计数器的工作原理 主动轮 压轮 左轮盘 0000 右轮盘 磁头 计数器 录像带 录像带运动方向 问题分析 录像带运动 右轮盘半径增大 录像带运动速度是常数 右轮转速不是常数 计数器读数增长变慢

模型假设 录像带的运动速度是常数ν; 计数器读数n与右轮转数m成正比,记m=kn; ·录像带厚度(加两圈间空隙)为常数w; 空右轮盘半径记作r; 时间仁0时读数n=0 建模目的建立时间与读数n之间的关系 (设v,k,w,r为已知参数)

模型假设 • 录像带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 . 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）