浙江大学：《数学建模 Mathematical Modeling》课程教学资源（课件讲稿）第十四章 概率模型

概率模型

概率模型

概率模型 1传送系统的效率 2报童的诀窍 3随机存贮策略 4轧钢中的浪费 5随机人口模型

概率模型 1 传送系统的效率 2 报童的诀窍 3 随机存贮策略 4 轧钢中的浪费 5 随机人口模型

随机模型 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 确定性模型 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑随机性模型

随机模型 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 确定性模型 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 随机性模型

1传送系统的效率 传送带 景挂55 背 ●●●●●●● 品 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走,若工 作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多 在生产进入稳态后,给出衡量传送带效 率的指标,研究提高传送带效率的途径

1 传送系统的效率 传送带 挂钩 产品 工作台 背 景 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径

问题分析 ·进入稳态后为保证生产系统的周期性运转,应假 定工人们的生产周期相同,即每人作完一件产品 后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产 品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例,作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相同,但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机 的,并且在一个周期内任一时刻的可能性相同

问题分析 • 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 • 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机 的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同

模型假设 1)n个工作台均匀排列,n个工人生产相互独立, 生产周期是常数; 2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的; 3)一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的 4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走; 若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统

模型假设 1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统

模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数(记作s, 待定)与生产总数n(已知)之比,记作D=s/n 为确定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个方便? 若求出一周期内每只挂钩非空的概率,则s=mp 如设每只挂钩为空的概率为q,则p=1-q 何设每只挂钩不被一工人触到的概率为r,则q=r 求概率 设每只挂钩被一工人触到的概率为u,则r=-1-l 周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 ∥=1Mmp=1(1-lm)n口D=m{1(1-1m)y]/n

模型建立 • 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n • 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp 为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ 如 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 D=m[1-(1-1/m)n u=1/m p=1-(1-1/m) ]/n n

模型解释 传送带效率(一周期内运走 [1-(1 产品数与生产总数之比) 若(一周期运行的挂钩数m远大于工作台数n,则 dm n 2m n(n 2 2 m 定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比) 当n远大于1时,E≈m/2m~E与n成正比,与m成反比 若n=10,m=40, 提高效率·增加m D≈875%(894%) 的途径:·习题1

模型解释 若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则 )] 2( 1) [1 (1 2 m n n mn nm D − ≈ − − + 传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比） ) ] 1 [1 (1 n n m m D = − − 提高效率 的途径： • 增加m • 习题1 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E ≈ n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, D≈87.5% (89.4%) m n 2 1 1 − = −

2报童的诀窍 报童售报:a(零售价)>b购进价)>c(退回价) 问厂售出一份赚ab;退回一份赔bc 题 每天购进多少份可使收入最大? 购进太多→>卖不完退回→赔钱 存在一个合 分购进太少→不够销售→赚钱少 适的购进量 析 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的口每天收入是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望

2 报童的诀窍 报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价) 问 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？ 购进太多→卖不完退回→赔钱 存在一个合 分 适的购进量 析 购进太少→不够销售→赚钱少 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 每天收入是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望

准调查需求量的随机规律—每天 备需求量为r的概率fr,r=0,1,2 建故每天购进n份,日平均收入为G(m) 模 已知售出一份赚a-b;退回一份赔b-c r≤n→售出r→赚(a-b)r →退回n-r→赔(b-c)(n-r) r>n→售出n→赚(a-b)mn G(n=2ICa-b)r-b-Cn-rlf(r)+2(a-b)nf(r) r=0 r=n+1 求n使G(n)最大

调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f( r), r=0,1,2… 准 备 建 模 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G ( n ) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c ( )( ) ( ) n r b c n r r n r a b r ⇒ − ⇒ − − ≤ ⇒ ⇒ − 退回 赔 售出 赚 r > n ⇒ 售出 n ⇒ 赚 ( a − b ) n ∑ ∑ = ∞ = + = − − − − + − n r n r G n a b r b c n r f r a b nf r 0 1 ( ) [( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) 求 n 使 G ( n) 最大