太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.1）二重积分的概念及性质

ut ed 第九章重积分 元函数定积分是求与定义在某一区 的函激有关的其种总量的数学模型, 作为推广,二元函数的重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型,三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型,这些模型的数学结构 相同,都是和式的极限

第九章 重积分 一元函数定积分是求与定义在某一区 间上的函数有关的某种总量的数学模型， 作为推广，二元函数的二重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型，三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型，这些模型的数学结构 相同，都是和式的极限

ut ed 第一节二重积分的概念及性质 问题的提出 二二重积分的定义 二重积分的性质 四小结

第一节 二重积分的概念及性质 一 问题的提出 二 二重积分的定义 三 二重积分的性质 四 小结

、问题的提出 1曲顶柱体的体积 曲顶柱体其顶为曲面z=f(x,y) 底面为平面区域D,求此曲顶柱体的体积 解:对区域D进行网状分割(如图) D区域D可分割成n个小区域: 1 上一页下一页返回

一、问题的提出 解：对区域D进行网状分割（如图） 1 曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积。 z = f (x, y) i n , , D n  ， ，   ） 区域 可分割成 个小区域： 1 2 1

f(,y) O 曲顶柱体的体积V=lm∑f(5, -0 上一页下一页返回

x z y o D z = f (x, y)  i • ( , ) i i  lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f     =   = → 曲顶柱体的体积

2)近似:每个个小区域△G1内任取一点(5 则每个小曲顶柱体的体积近似为: △V1≈f(2;,1)△o 3)求和:所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为 ∑Av≈∑∫(,n)可 i=1 4)取极限:F=m∑/(,m)△ 其中2=max{a的直径} l≤i<n 上一页下一页返回

2）近似： 每个个小区域  i 内任取一点 ( , ), i i  则每个小曲顶柱体的体积近似为： i i i i V  f ( , ). 3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为   = =  n i i i i n i i V f 1 1  ( , ) 4）取极限：  ( ) = → =  n i i i i V f 1 0 lim  ,    其中  i 的直径 i n  =  1  max

2平面薄片的质量 设平面薄片占有xoy面上的区域为D,它在点 (x,y)处的密度为(x,y) 求:此薄片的质量 1)区域D可分割成个小区域: 1>O02 2)取点(,n)e△ 3)作和∑(,m)△σ 4)取极限M=Lim∑r(;,n)△a 上一页下一页返回

2 平面薄片的质量 2）取点 3）作和 4）取极限 ( ) i i  i ,  ( ) = → =  n i i i i M Lim r 1 0  ,    i n D n    , , 1) 1 ， 2 ，  区 域 可分割成 个小区域： 设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点 （ x , y )处的密度为 求：此薄片的质量 r(x, y)  ( ) =  n i i i i r 1  , 

二、二重积分的定义 定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△G1 △a2,…,△an,其中△G表示第i个小闭区域 也表示它的面积,在每个△σ,上任取一点 作乘积∫(5;,n)△o; 并作和∑∫(51,m)△a, 上一页下一页返回

二、二重积分的定义 定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ，  2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个  i 上 任 取 一 点 ( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f    = ( , ) 1

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数∫(x,y) 在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)da, 即址/(,Im∑/5,n) 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 域数量 表达式 元分 素和 上一页下一页返回

积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上 的二重积分， 记 为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f     =   = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素

注:1在二重积分定义中,对区域D的 划分是任意的,_果在直角坐标系中用平 行于坐标轴的直线网来划分D,则除了包含, 边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域△O 的边长为Ax,和△y 则△σ=△xAyk 故在直角坐标系中, 上一页下一页返回

注： 1 在二重积分定义中，对区域D的 划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平 边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域 j x 则 i j k  = x y 故在直角坐标系中， 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域  i 的边长为 , k 和 y 行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含

直角坐标系下面权元素们图示』八()g do =dxdy f∫(x,y)d △ 0 △ 上一页下一页返回

0 x y D j x  i k y 直角坐标系下面积元素 d 图示  D f (x, y)dxdy d = dxdy, ( )  D f x, y d