太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.5）重积分的应用

ut ed 第五节重积分的应用 问题的提出 二曲面的面积 质 四转动惯量 五引力 六小结

第五节 重积分的应用 一 问题的提出 二 曲面的面积 三 质心 四 转动惯量 五 引力 六 小结

问题的提出 由定积分的元素法推广得到重积分的元素法 二重积分的元素法 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量相 相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和), 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域a 时,相应地部分量可近似地表示为f(x,y)do的形 式,其中(x,y)在do内.这个f(x,y)d0称为所求 量U的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=l f(x, y)dxdy 上一页下一页现回

二重积分的元素法. 由定积分的元素法推广得到重积分的元素法. 若要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性 (即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量 U 相 相应地分成许多 部分量，且 U 等于部分量之和)， 并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭区域 d 时，相应地部分量可近似地表示为 f (x, y)d 的形 式，其中 (x, y) 在 d 内．这个 f (x, y)d 称为所求 量 U 的元素，记为 dU ，所求量的积分表达式为  = D U f (x, y)dxdy 一 问题的提出

重积分的元素法 若要计算的某个量U对于空间闭区域V具有可加 性,并且在闭区域V任取一个直径很小的闭区域 时,相应地部分量可近似地表示为(x,y)d的形 式,其中(x,y在dV内,这个f(x,y2=)称为所 求量/的元素,记为,所求量的积分表达式为 U=f(x,y,2)dv 利用重积分的元素法可以讨论重积分在 几何、物理上的一些应用 上一页下一页返回

三重积分的元素法. 利用重积分的元素法可以讨论重积分在 几何、物理上的一些应用 U V V dV f (x, y)d 若要计算的某个量 对于空间闭区域 具有可加 性，并且在闭区域 任取一个直径很小的 闭区域 时,，相 应地部分量可近似地表示为 的形 式，其中 在 内，这个 称为所 求量 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 (x, y,z) dV f (x, y,z)dv U dV  = V U f (x, y,z)dV

曲面的面积 1设曲面S的方程为 f(x,y z=f(x,y) 在xoy面上的投影区域为D D 函数f(x,y)在区域D上 具有连续偏导数 下面通过微元素法来计算曲面S的面积. 上一页下一页返回

z = f (x, y) D １ 设曲面S的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, , ( , ) 具有连续偏导数 函数f x y 在区域D上 下面通过微元素法来计算曲面S的面积. 二 曲面的面积

如图,先在闭区域D上任取一直径很小的闭区域, 设小区域do∈D 取点(x,y)∈lU, dA 对应曲面S上的M(x,y,f(x,y) 过M(x,y,f(x,y) 做S上的切平面∑ do 以d边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈ds 上一页下一页返回

设小区域 d  D, 取点(x, y)d, . ( , , ( , )) 做 上的切平面 过 S M x y f x y dA ds. s ds dA d z    则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图，先在闭区域D上任取一直径很小的闭区域， d (x, y) M dA x y z s  o  对应曲面S 上的M(x, y, f (x, y))

设点M处曲面上的法线与轴所成的角为 do为d4在xoy面上的投影 由平面几何知识得do=d4cosy, cosy +f+ dA=1+f2+f2lo曲面s的面积元素 2 +∫x+厂do 曲面面积公式为:A=∫1+(会)+(含)d 上一页下一页返回

由平面几何知识得 d = dAcos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f   = 1 , 2 2   = + + D A f x f y d 设点M处曲面S上的法线与Z轴所成的角为 d 为dA在 xoy 面上的投影, dA = 1+ f x 2 + f y 2 d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A ( ) ( ) dxdy Dxy y z x z      = + + 2 2 1

同理可得 2设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面积公式为:A=」1+()+()h 3设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面积公式为:A=∫1+()+() 上一页下一页返回

３ 设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y      = + + ２ 设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x      = + + 同理可得

例1求半径为的球的表面积 解取上半球面方程为 D:x2+y2≤a2 于是1+()+()=-x一 上一页下一页返回

于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z     + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 例1 求半径为a的球的表面积。 2 2 2 z = a − x − y 取上半球面方程为 2 2 2 D : x + y  a

2 +Z. +2 dxdy D a=x-y 2丌 2a de 上一页下一页返回

 − − = D dxdy a x y a 2 2 2 2   − = a rdr a r a d 0 2 2 2 0 1 2   4 . 2 = a A z z dxdy D =  + x + y 2 2 2 1

例2设有一颗地球的同步轨道 通讯卫星的轨道位于地球的赤道 平面内,且可近似认为是圆孰 道,通讯卫星运行的角速率与地 卫星 球自转的角速率相同,即人们看 到它在天空不动,若地球半径取 为R=6400km,问卫星距地面的 高度h=360km时,通讯卫星 的覆盖面积与地球的表面积的比 值是多少? 上一页下一页返回

例 2 设 有 一颗地球的同步轨道 通讯卫星的轨道位于地球的赤道 平面内，且可近似认为是圆轨 道．通讯卫星运行的角速率与地 球自转的角速率相同，即人们看 到它在天空不动．若地球半径取 为 R = 6 4 0 0 k m ，问卫星距地面的 高 度 h = 3 6 0 0 0 k m 时，通讯卫星 的覆盖面积与地球的表面积的比 值是多少？ 卫星 h o x z