太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.1）多元函数的极限及连续性

ut ed 第一节多元函教的极限及连续性 预备知识 二多元函数的概念 多元函数的极限 四多元函数的连续性

一 预备知识 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 第一节 多元函数的极限及连续性

、预备知识 邻域 设P(x02,y)是xOy平面上的一个点,δ6是某 正数,与点P0(x02y)距离小于6的点P(x,y) 的全体,称为点P的6邻域,记为/(P0,δ) U(P 8)=pll PPok8 2 x-x)-+ <6 点P的去心斜域0(P,6)={P0<PPK 上一页下一页回

1.邻域 ( , ) U P0  = P | PP0 |   ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y   P0  • 设 是 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ， P0 (x0 , y0 ) xoy  ( , ) 0 0 0 P x y  P(x, y) P0  ( , ) U P0  ( , ) ˆ 点 P0 的去心邻域 U P0  = P 0 | PP0 |   一、预备知识

2.内点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE 则称P为E的内点.E的内点属于E 如果点集E的点都是内点, 例如4(xy)1<x+y2<4}即为开( 则称E为开集 集 上一页下一页返回

2. 内点 E P1 • 则称 为 的内点. 一个点．如果存在点 的某一邻域 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 的内点属于 . E P P U(P)  E P E E E 则称 为开集. 如果点集 E 的点都是内点，  E 例如， 即为开 集． {( , )1 4} 2 2 x y  x + y 

3.边界 如果点P的任一个邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 E的边界点的全体称为E的边界 P 注:E的内点必属于E; 2E的外点必定不属于E; E 30E的边界点可能属于E也可能不属于E 上一页下一页返回

E •P 3. 边界 注： 0 3 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于 E . 0 2 E 的外点必定不属于 E ; 1 0 E 的内点必属于 E ; 可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属 于 的点， E 的边界点的全体称为E 的边界． P E E E E E P P

4.连通集 设D是开集.如果对于D内 任何两点,都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的 5.区域 连通的开集称为区域或开区域 上一页下一页返回

• • 4. 连通集 5. 区域 连通的开集称为区域或开区域． 开集 且该折线上的点都属于 是连通的． ，则称 任何两点，都可用折线 连结起来， 设 D 是开集．如果对于 D 内 D D

y 例如,{(x,y)4<x2+y2<9} 开区域连同它的边界一起称为闭区域 例如,{(x,y)|x2+y2≤4} 上一页下一页返回

x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域． x y o 例如， {( , )| 4 9}. 2 2 x y  x + y  例如， {( , )| 4}. 2 2 x y x + y 

6有界点集、无界点集 对手点集E的某一定点A如果存在正数K 使任意的P∈E与A的距离AP不超过K, 即 AP≤K 则称E为有界点集,否则称E为无界点集 例如,{(x,y)|x2+y2≤4} 有界闭区域; x{(x2y)|x+y>0} 无界开区域 上一页下一页返回

有界闭区域； 无界开区域． x y o 6 有界点集、无界点集 则称 为有界点集，否则称 为无界点集． 即 使任意的 与 的距离 不超过 ， 对于点集 E 的某一定点 如果存在正数 ， E E A K PE A AP K AP  K 例如， {( , )| 4} 2 2 x y x + y  {(x, y)| x + y  0}

7n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称n元数组 (x2x2Xn)的全体为n维空间,而每个n元数 组(x12x2xn)称为n维空间中的一个点,数 x称为该点的第i个坐标 设两点为P(x1,x2…,xn),Q(y12y2…y) IPQ=√(y-x)2+(Jy2-x)2+…+(yn-xn)2 比如:U(P,)={P| PPk, P∈R 当n=1,2,3时,便为数轴、平面、空间两 点间的距离 上一页下一页返回

7 n维空间 | | ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 1 1 n xn PQ = y − x + y − x ++ y − ( , , , ), P x1 x2  xn ( , , , ), 1 2 n 设两点为 Q y y  y   n 比如： U(P0 , ) = P | PP0 |  ,P  R 当 时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离． n = 1, 2, 3 设 为取定的一个自然数，我们称 元数组 的全体为 维空间，而每个 元数 组 称为 维空间中的一个点，数 称为该点的第 个坐标. n n n n n ( , , ) x1 x2 xn  ( , , ) x1 x2 xn  i x i

多元函数的概念 多元函数的定义 设D是平面上的一个点集,如果对于每个点 P(x,y)∈D,变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应,则称z是变量x,y的二元函数,记为 z=f(x,y)(或记为z=∫(P)) 类似地可定义三元及三元以上函数 当n≥2时,n元函数统称为多元函数 l=∫(x 19~29 多元函数中同样有定义域、值域、自 变量、因变量等概念 上一页下一页返回

二、多元函数的概念 类似地可定义三元及三元以上函数． ( , , , ) x1 x2 xn u = f  设D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) D，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量x, y的二元函数，记为 z = f (x, y)（或记为 )  z = f (P) 当 n  2 时， n 元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自 变量、因变量等概念． 1 多元函数的定义

例1求f(x,y)=n(x+y)的定义 所求定义域为x+y=0 D={(x,y)|x+y>0}. 例2求f(x,y)= arcsin(x2+y2)的定义 域 解所求定义域为 D={(x,y)|x2+y2≤1} x ty 上一页下一页返回

解 所求定义域为 解 所求定义域为 1. 2 2 x + y = x + y = 0 例1 求 的定义 域． f (x, y) = ln(x + y) D ={(x, y)| x + y  0}. {( , )| 1}. 2 2 D = x y x + y  例2 求 的定义 域． ( , ) arcsin( ) 2 2 f x y = x + y