太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）曲率

ut ed 第七节曲率 孤微分 二曲率及其计算公式 三曲率圆与曲率半

第七节 曲 率 二 曲率及其计算公式 一 弧微分 三 曲率圆与曲率半径

弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 在曲线上取点:A(x0,y) M 作为度量弧长的基点 对于曲线上任意一点M(x,别,xxx+4x 规定:(1)曲线的正向为增大的方向 (2)AM=,当AM的方向与曲线正向 一致时,s取正号,相反时,s取负号 易看出:弧长S=s(x是x的单调增函数 上一页下一页返回

N T A 0 x M x x + x . f ( x ) ( a,b ) 内具有连续导数 设函数 在区间 x y o 规定： (1)曲线的正向为x增大的方向; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM 一 弧微分 . : A( x , y ) 作为度量弧长的基点 在曲线上取点 0 0 对于曲线上任意一点M( x, y ), 易看出：弧长 s = s(x)是 x 的单调增函数

下面求S=S(x)的导数与微分 设N(x+△x,y+Ay)为曲线 上的另一点△=MN M 2 2 △ MN MN MN x+△ △ △x MN △ mN (△x)2+(Ay)2 mN 2 (△y) 十 M (△x)2MN △x MN (△y)2 土MN 十 △v 上一页下一页返回

下面求 s = s(x) 的导数与微分 , ( , ) 上的另一点 设N x + x y + y 为曲线 s = MN N M T A 0 x x x + x x y o 2 2         =        x MN x s 2 2          •         = x MN MN MN ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) x x y MN MN   +  •         = ( )           • +         = 2 2 2 ( ) 1 x y MN MN ( )           • +         =    2 2 2 ( ) 1 x y MN MN x s

y 当△x→0时,N→M MN y N-M(MN △x→>0△x x+△xx 故ds=士√1+y2d s=s(x)为单调增函数, 故d=1+y"2t 弧微分公式 上一页下一页返回

当x →0时, N → M 1 . 2 故 ds =  + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A 0 x x x + x x y 1 o lim 2 =         → MN MN N M y x y x =     →0 lim

曲率及其计算公式 1曲率的定义 -描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 Aa, △S /M △S1 M M △S, △S,丿N △o 1)弧段弯曲程度越大转角越大, 2)转角相同弧段越短弯曲程度越大。 上一页下一页返回

------描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N  1）弧段弯曲程度越大转角越大， 2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。 1 曲率的定义 1 二、曲率及其计算公式

设曲线C是光滑的, Mn是基点M=△s, M AS A M→M切线转角为△a a+△o 定义 X 弧段MM的平均曲率为K= △a △s 曲线C在点M处的曲率K=lim △c △s>0△S 在lmA2=d存在的条件下,K= △->0△sd A 上一页下一页返回

+   S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K    =  弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s   =  →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s   =    → . ds d K  =

例1直线的曲率处处为零 △a=0,K △O\=0 △ 例2圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 设圆的半径为,△s=a·△a △a △a1 K △s 上一页下一页返回

例1 直线的曲率处处为零. 例2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 0, = 0    = = s K   s a 1 =   设圆的半径为a,s = a s a K 1 =   = 

2曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导,∵tana=y 有 a=arctan, da=? 如吹,函=、+γ2x 1+ (1+y2) 设=y( y=y(t), k=p(ty"(t-o"(ty'(t l(t)+y(t)I 上一页下一页返回

   = = ( ), ( ), y t x t   设 . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k        +    −    = 2 曲率的计算公式 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d +    = . (1 ) 2 3 2 y y k +    = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx

例3抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y”=2a, 2a = +(2ax+6)2 当x b 时,k最大. 2a bb 2 4a 又:( )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大 上一页下一页返回

? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a,. [1 (2 ) ] 2 23 2 ax b a k + +  = , 2 当 时 ab x = − k最大 . ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac ab −  − − 抛物线在顶点处的曲率最大. 例 3

三、曲率圆与曲率半径 定义设曲线y=f(x)在点 M(x,y)处的曲率为k(k≠0) y=∫(x) 在点M处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D,使DM o.以D为圆心,为半径 作圆(如图),称此圆为曲线在点M处的曲率圆 D---曲率中心,p---曲率半径 上一页下一页返回

定义 D y = f (x) M k 1  = ( ), . . , 1 , , ( , ) ( 0). ( ) 作圆 如图 称此圆为曲线在点 处的曲率圆 以 为圆心 为半径 在凹的一侧取一点 使 在点 处的曲线的法线上 处的曲率为 设曲线 在点 M D k D DM M M x y k k y f x = =    = D − − −曲率中心,  − − −曲率半径. x y o 三、曲率圆与曲率半径