太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）函数的单调性与极值

ut ed 第三节函数的单调性与极值 函数的单调性 函数的极值

二 函数的极值 一 函数的单调性 第三节 函数的单调性与极值

函数的单调性 y=f(r) y=f(r) B 0 a b 0 a 6 x f(x)≥0 f(x)≤0 若y=f(x)在区间(ab)上单调上升 f(x)≥0 若尸=f(x)在区间(a,b)上单调下降(x)≤0 上一页下一页返回

x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x)  0 a b B A 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调上升 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调下降 f (x)  0 一、函数的单调性 f ( x )  0 f ( x )  0

1单调性的判别法 定理1 设函数y=f(x)在[a,b上连续,在(a,b可导 (1)如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调增加 (2)如果在(a,b)内∫(x)<0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调减 上一页下一页返回

定理1 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) . 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内可导 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b   =   = = 1 单调性的判别法

证Vx1,x2∈(a,b),且x10, 若在(a,b内,f(x)>0,则∫(4)>0 f(x2)>f(x1).∴y=∫(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则f(2)<0, f(x2)<f(x1)∴y=f(x)在a,b上单调减少. 上一页下一页返回

证 , ( , ),  x1 x2  a b , 且 x1  x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f   −    0,  x2 − x1  若在(a,b)内，f (x)  0, 则 f ( )  0, ( ) ( ). 2 x1  f x  f  y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x)  0, 则 f ( )  0, ( ) ( ). 2 x1  f x  f  y = f (x)在[a,b]上单调减少

例1判断函数y=mx的单调性 解函数的定义域为0+∞ >0, 函数在(0,+∞)内单调增加 上一页下一页返回

 函数在 (0,+) 内单调增加. 解 函数的定义域为 (0,+.) 0， 1  =  x  y 例1 判断函数 y = ln x 的单调性. y = ln x y o x 1

例2判断函数y=e-x的单调性 解∴y=e-1.又∴D:(-0,+0). 在(-∞,0内,y0,∴函数单调增加 注1:要用导数在区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 注2:函数在定义区间上不是单调的,但在各 个部分区间上单调 上一页下一页现回

例2 判断函数 y e x的单调性. x = − 函数单调减少； 在(0,+)内, y  0, 函数单调增加. 注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 解  = − 1. x  y e 在(−,0)内, y  0, 又D :(−,+). -3 -2 -1 1 2 3 2 3 4 5 注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调．

2单调区间的求法 单调区间定义:若函数在其定义域的某个区 间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间 2、单调区间的划分 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点 来划分函数f(x)定义区间,然后判断区间内导 数的符号 上一页下一页返回

1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区 间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 2、单调区间的划分 2 单调区间的求法 . f ( x ) , f ( x ) f ( x ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程  = 0的根及  不存在的点

例3确定函数f(x)=2x3-9x2 +12x-3的单调区间 解 D:(-∞,+∞) X 2.5 ∫(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程∫(x)=0得 当-∞0,∴在(-∞,1单调增加; 当10,∴在[2,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,1b[1,2l,[2,+∞) 上一页下一页返回

例3 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x 解  D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当−   x  1时， f (x)  0, 在(−,1]上单调增加； 当1  x  2时， f (x)  0, 在[1,2]上单调减少； 当2  x  +时， f (x)  0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)

例4确定函数f(x)=3x2的单调区间 解∵函数的定义域为-a+) 2 x≠ J 当x=0时,导数不存在 当-∞0,∴在[0,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,0,|0,+∞). 上一页下一页返回

例4 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 解 函数的定义域为(− ,+ ). , ( 0) 3 2 ( ) 3  = x  x f x 当x = 0时,导数不存在. 当0  x  +时，f (x)  0, 在[0,+)上单调增加； 当−   x  0时，f (x)  0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x

3单调性的应用 例5当x>时,试证2x>3-成立一 证设f(x)=2√x-3+ 则∫(x)= xvr 1) ∫(x)在1+)上连续且(1,+∞可导,∫(x)>0, 故在1,+0)上单调增加;∵f(1)=0, 当x>时,f(x)>0 当x>时,2√x>3-成立 上一页下一页现回

3 单调性的应用 例5 . 1 当 1时,试证2 3 成立 x x  x  − ( 1) 1 1 1 ( ) 2 2  = − = x x − x x x 则 f x f (x)在[1,+ )上连续,且(1,+ )可导，f (x)  0, 故在[1,+ )上单调增加； f (1) = 0, 证 x f x x 1 设 ( ) = 2 − 3+ 当x  1时， f (x)  0 . 1 当 1时,2 3 成立 x x  x  −