太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）最大最小值问题

ut ed 第四节最最小值问题 闭区间上连续函数的最值 实际问题的最值

第四节 最大最小值问题 一 闭区间上连续函数的最值 二 实际问题的最值

、闭区间上连续函数的最值 若函数f(x)在{a,b上连续,除个别点外处处可导, 并且至多有有限个导数为零的点,则f(x)在a,b 上的最大值与最小值存在 J J b x bx 上一页下一页返回

o x y o x y a b o x y a b a b . ( ) [ , ] ( ) [ , ] 上的最大值与最小值存在 并且至多有有限个导数为零的点，则 在 若函数 在 上连续，除个别点外处处可导， f x a b f x a b 一、闭区间上连续函数的最值

步骤: 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值(最大值或最小值) 上一页下一页返回

1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) 步骤:

例1求函数y=2x3+3x2-12x+14的在-3,4 上的最大值与最小值 解∵∫(x)=6(x+2)(x-1) 解方程∫(x)=0,得x1=-2,x2=1 计算f(-3)=23;∫(-2)=34 f(1)=7; f(4)=142; 上一页下一页返回

 f (x) = 6(x + 2)(x −1) 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) =7; f (4) =142; 解 计算 . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 例1 求函数 y = x + x − x + 的在 −

y=2x+3x2-12x+14 40 10 比较得最大值f(4)=142,最小值∫(1)=7 上一页下一页返回

比较得 最大值 f (4) = 142，最小值 f (1) = 7. 2 3 12 14 3 2 y = x + x − x +

二、实际问题的最值 (1)建立目标函数; (2)求最值 若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值 上一页下一页返回

二、实际问题的最值 (1)建立目标函数; (2)求最值; 函数值即为所求的最 或最小 值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 ( )

例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟 的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击, 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好(相 距最近射击最好)? 点击图片任意处播放暂停 上一页下一页返回

点击图片任意处播放\暂停 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？

解(1)建立敌我相距函数关系 设t为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).05公里 敌我相距函数s() B s()=√(0.5 +t)2+(4-2 4公里 (2)求s=S()的最小值点 s(t)= 5t-7.5 令s(t)=0 √(0.5+t)2+(4-2t 得唯一驻点t=1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好 上一页下一页返回

(2) 求s = s(t)的最小值点. . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t + + − − s(t) = 令s(t) = 0, 得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好. 4公里 B 0.5公里 s(t) A  2 2 s(t) = (0.5 + t) + (4 − 2t) (1)建立敌我相距函数关系 追击至射击的时间(分). 设 t 为我军从B处发起 敌我相距函数 s(t) 解

例3某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为 每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月 增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入? 解设房租为每月x元, 租出去的房子有(0 -180 套, 10 每月总收入为 R(x)=(x-20)50~x-180 10 上一页下一页返回

某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为 每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月 增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费． 试问房租定为多少可获得最大收入？ 例3 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 R(x) = (x − 20)       − − 10 180 50 x 解       − − 10 180 50 x x

R(x)=(x-20)68 10 R(x)=68-+(x-20) =70 10 10 5 R'(x)=0→x=350(唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为R(x)=(350-20)68350 10 =10890(元) 上一页下一页返回

      = − − 10 ( ) ( 20) 68 x R x x        + − −       = − 10 1 ( 20) 10 ( ) 68 x x R x 5 70 x = − R(x) = 0  x = 350 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为       = − − 10 350 R(x) (350 20) 68 = 10890 (元)