太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）函数的求导法则

ut ed 第三节函数的求导法则 函数的四则运算的微分法 二反函数的微分法则 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四微分法小结

一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结 第三节 函数的求导法则

、函数四则运算的微分 定理1如果函数u(x),v(x)在点x处可导(或可微) 则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处 也可导,并且 (1)[u(x)±v(x)=l(x)±v(x)y; 或d(u±v)=±hv; (2) Lu(x).v(x)]=u(x)'v(x)+u(x)v(x), 或duν=wu±udv; 上一页下一页返回

一、函数四则运算的微分 定理1 也可导, 并且 则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点 处 如果函数 在点 处可导（或可微), x u( x), v( x) x (1) [u(x)  v(x)] = u(x)  v(x); 或d(u  v) = du  dv; ; [ ] , duv vdu udv u x v x u x v x u x v x =    =  +  或 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(x)_l(x)v(x)-u(x)(x) (3)[y (v(x)≠0), v(G) 、Lv-Lp 或d(-) 证(2)设f(x)=u(x)v(x) f∫(x)y=,lim u(x+△x)y(x+△x)-u(x)w(x) △->0 △r u(x+Δx)-u(x)lv(x+△x)+u(x)v(x+△x)-v(x) △v->0 u(x)v(x)+u(rv(x) 上一页下一页返回

( ) . ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) ( )( ) (3)[ ] 2 2 v u v uv v u d v x v x u x v x u x v x v x u x  −  =   −   = 或 ( ) ( ) 证 (2)设 ( ) ( ) ( ) ( ) . [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) lim ( ) ( ) ( ), =  +   +  − +  + +  −  → =  +  +  −  →  = = u x v x u x v x x u x x u x v x x u x v x x v x x x u x x v x x u x v x x f x f x u x v x

推论 (1)C∑A(x)=∑f(x),d∑f(x)=∑(fA(x); =1 =1 (2)Icf(x=cf(r, d(cf(x))=cdf(x); (uvw=uww+uv'w+uvw, d(uvw)=wwdu+uwdv+uvdw. 注意:[u(x)v(x)≠l(x)+v(x); ulr ult ≠ vlr 上一页下一页现回

推论 ( ) . (3)[ ] , (2)[ ( )] ( ) , ( ( )) ( ); (1)( ( )) ( ), ( ( )) ( ( )); 1 1 1 ' 1 d uvw vwdu uwdv uvdw uvw u vw uv w uvw cf x cf x d cf x cdf x f x f x d f x d f x n k k n k k n k k n k k = + +  =  +  +   =  =   =   =  = = = = 注意： . ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ [ ( ) ( )] ( ) ( ) ;        +  v x u x v x u x u x v x u x v x

2 例1.求f(x)=x+2x-的导数 解f(x)=(x+2√x- 2 2 =x+(2xy-(2y 1+2 2 2√x 2√x 1+—+ 3 x√x 上一页下一页返回

例 1. 求 x f x x x 2 ( ) = + 2 − 的导数 . 解 . 1 1 1 1 21 2 2 1 1 2 ) 2 (2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 3 3 x x x x x x x x f x x x = + +  − = +  −  =  +  −   = + − 

例2.设∫(x)=xenx,求∫(x) 解∫(x)=( xe Inx) x' e Inx+x(e )inx+ xe(n x) 1 =e lnxt xe Int xe e(1+Inx+xInx). 上一页下一页返回

f (x) xe ln x, x 例2. 设 = 求 f ( x )  . 解 (1 ln ln ). 1 ln ln ln ( ) ln (ln ) ( ) ( ln ) e x x x x e x x e x x e x e x x e x x e x f x x e x xx x x x x x x = + + = + + =  +  +   = 

例3求p=tanx的导数 解y=(tanx) SIn d cos (sin x)'cos x-sin x(cos x) 2 cos d cosx+sinx sec cos式 y’=( tan x)=sec2x 同理可得y=(cotx)=-csc2x 上一页下一页返回

例3 求 y = tan x的导数 . 解 ) cos sin  = (tan ) = (  x x y x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = y x x 2  = (tan ) = sec 同理可得 y x x 2  = (cot ) = −csc

例4求y=secx的导数 解y=(ecx)=( (cos x) sinx coS x cos x =secrtanx 同理可得y=cscx)y=- cscrcot x 上一页下一页返回

例4 求 y = sec x的导数 . 解 ) cos 1  = (sec ) = (  x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = 同理可得 y = (csc x) = −csc x cot x

、反函数的微分法则 定理2.如果函数x=(y)在某区间Ip内单调、可导 且g(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 Ⅰx内也可导,且有 1 pn dy 1 f(x)= p(y) de da 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 注意:f(x),(y)的"均为求导,但意义不同 上一页下一页返回

dy dx dx dy y f x x I y y f x y x y I 1 , ( ) 1 ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) =   =   = = 即 内也可导 且有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导    , 定理2. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 注意：f (x),(y) 的" " 均为求导，但意义不同. 二 、反函数的微分法则

证任取x∈,给x以增量△x(△x≠0,x+△c∈I) 由y=f(x)的单调性可知4y≠0, 于是有Ax=△x,因为f(x)连续, △y 所以当△x→0时,必有4y→0 故f(x)=li im=on((y)≠0) 即f(x=1 p(y 上一页下一页返回

证 , x 任取x I 给x以增量x ( 0, )x x  x + x I 由y = f (x)的单调性可知 y  0, 于是有 , 1 y x x y   =   因为 f (x)连续, 所以当x → 0时,必有y → 0 ( ( y)  0) x y f x x    0 ( ) lim → 故  = y y x   =  → 1 lim 0 ( ) 1  y = . ( ) 1 ( ) y f x  即  =