太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）对坐标的曲面积分

ut ed 第五节对坐标的曲面积分 、基本概念 二、概念的引入 概念及性质 计算法 五、两类曲面积分之间的联系

第五节 对坐标的曲面积分 一、基本概念 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系

基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 上一页下一页返回

观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 一、基本概念

曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧曲面 2 口 2 上一页下一页返回

n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

典型单侧曲面:莫比乌斯带 上一页下一页返回

典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放

曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面AS△S在xoy面上的投影(△S)x为 (△σ)y当cosy>0时 (△S)={-(A)当c0sy<0时 当cosy=0时 其中(Δσ)表示投影区域的面积 上一页下一页返回

曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 曲面 S 上的投影(S) xy为

、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量Φ(假定密度为1) 流量 ①=Avc0s0 =4p·n0=p·A 上一页下一页返回

实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v  0 n   A Av n v A Av      =  =   = 0 cos 流量 二、概念的引入

(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y,)=P(x,y, z)i+o(,v, z)j+R(,y,zk 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y,),2(,y,),R(,,z) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向∑指定侧的流 体的质量Φ 上一页下一页返回

(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 ) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给 出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函 数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都 在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. x y z o 

1.分割把曲面Σ分成小块△,(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5;,m25) (2,1,9) 则该点流速为v 法向量为n 上一页下一页现回

x y z o  • Si ( , , ) i i i    i v  ni  把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , )  i i  i , 1. 分割 则该点流速为 . i v  法向量为 . ni 

v=ν(5;,m,5;) =P(5,1,5+Q(5,,5)+R(5,1,5), 该点处曲面∑的单位法向量 i= cos a, i+ cos B i+ cos y, k, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 △S;(i=1,2,…,n) 2求和通过Σ流向指定侧的流量①∑1△S i=1 上一页下一页返回

该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k     cos cos  cos  0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i  i i =  ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =     n i i ni Si v 1

∑P(5,m,41)c0sa1+Q(5,n,5)os月 +R(5;,7,5)c0sy;AS ∑|P(5,m,4)△S)x+Q(5,m,5AS)x +R(5;,m7,9;)(AS)y 3.取极限λ→0取极限得到流量Φ的精确值 上一页下一页返回

i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q +  =  + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1             i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 +  =   +  =          3.取极限  → 0取极限得到流量的精确值