太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限（1.1）函数

ut ed 第一节函/数 、函数的概念 函数的特性 三、函数的运算 初等函数 五、小结与思考判断题

一、 函数的概念 二、 函数的特性 五、 小结与思考判断题 三、 函数的运算 四、 初等函数 第一节 函 数

函数的概念 定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的 数集,如果对于每个数x∈D,变量J按照一定 法则总有确定的数值和它对应,则称y是x的函 数,记作 y=∫(x)数集D叫做这个函数的定义域 因变量 自变量 当x∈D时,称f(x)为函数在x的函数值 函数值全体组成的数集 W={yy=∫(x),∈D}称为函数的值域 上一页下一页返回

因变量 自变量 定义1 设 和 是两个变量， 是一个给定的 数集，如果对于每个数 ，变量 按照一定 法则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函 数，记作 x y D x D y y x y = f (x) 数集D叫做这个函数的定义域 函数值全体组成的数集 当 x  D 时，称 为函数在 x0 的函数值. 0 ( ) x0 f W = { y y = f (x), x D} 称为函数的值域. 一、函数的概念

函数的两要素:定义域与对应法则. D 对应法则 自变量 W f(x0) 因变量 约定定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值 例如y=√/1-x2D:-1, 例如y D:(-1,1) 上一页下一页返回

( ( ) ) 0 x ( ) x0 f 自变量 因变量 对应法则f 1. 函数的两要素: 定义域与对应法则. x y D W 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 2 1 1 x y − 例如 = D :(−1,1) 2 例如 y = 1− x D :[−1,1]

2.单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值 时,对应的函数值总是只有一个,这种函 数叫做单值函数,否则叫与多值函数 例如x2+y2=a2,y=±a2-x2 函数的表示方法:1)表格法 2)图形法 3)解析法 上一页下一页返回

如果自变量在定义域内任取一个数值 时，对应的函数值总是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否则叫与多值函数． 函数的表示方法： 1）表格法 2）图形法 3）解析法 2. 单值函数与多值函数 , 2 2 2 x + y = a 2 2 例如 y =  a − x

3.几个特殊的函数举例 例1符号函数 当x>0 y=Sgnx={0当x=0 1当x<0 x=sgnx·x 上一页下一页返回

例1 符号函数      −  =  = = 1 0 0 0 1 0 sgn x x x y x 当 当 当 3. 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o x = sgn x  x

例2取整函数y=[x [x表示不超过x的最大 整数 2345 2 阶梯曲线 在x为整数值处,图形发生跳跃跃度为1. 上一页下一页返回

1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 例2 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大 整数. x 在 x 为整数值处,图形发生跳跃,跃度为1

例3狄利克雷函数 y=Dx)=1当x是有理数时 0当x是无理数时 无理数点有理数点 如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式 子表示称为分段函数例1至例3均是分段函数 上一页下一页返回

   = = 当 是无理数时 当 是有理数时 x x y D x 0 1 ( ) 无理数点 有理数点 • 1 x y o 例3 狄利克雷函数 如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式 子表示称为分段函数,例1至例3均是分段函数

函数的特性 1.函数的有界性 若XcD,丑M>0,Vx∈X,有f(x)≤M成立, 则称函数f(x)在X上有界否则称无界 y=flx) 有界X X无界 M 上一页下一页返回

二、函数的特性 M -M y x o y=f(x) 有界 X 无界 M -M y o x X 0 x 若X  D,M  0,x  X,有 f (x)  M 成立, 1.函数的有界性 则称函数f (x)在X上有界.否则称无界

2.函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D,区间∈D, 如果对于区间上任意两点x及x2,当x1<x2时 恒有 f(x1)<f(x2)() 则称函数f(x)在区间/上是单调增加的 y↑y=f(x) f(x1) 上一页下一页返回

2．函数的单调性: 设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D, , , 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 当x1  x2时 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的; ( ) ( ) (1) 1 2 恒有 f x  f x y = f (x) ( ) 1 f x ( ) 2 f x x y o I

设函数f(x)定义域为D,区间I∈D, 如果对于区间Ⅰ上任意两点x1及x2,2当x1f(x 则称函数f(x)在区间上是单调减少的, f(x, 0 上一页下一页返回

y = f ( x ) ( ) 1 f x ( ) 2 f x x yo I 则称函数 f (x)在区间I上是单调减少的; 设函数 f (x)的定义域为D, 区间I  D, 如果对于区间 上任意两点 及 当 时, 1 2 1 2 I x x , x  x ( ) ( ) (2) 1 2 恒有 f x  f x