太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）对面积的曲面积分

ut ed 第四节对间积的曲面积分 、概念的引入 二、对面积的曲面积分的定义 计算法

第四节 对面积的曲面积分 一、概念的引入 二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法

、概念的引入 实例若曲酡是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量. 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时 20o 切平面也连续转动 20 上一页下一页回

若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 一、概念的引入

、对面积的曲面积分的定义 1.定义设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,z) 上有界,把Σ分成小块AS;(△S;同时也表示 第小块曲面的面积),设点(,m7,5;为△S;上 任意取定的点作乘积f(95,m,5)△S, 并作和∑f(5,m;5)△S,如果当各小块曲面 的直径的最大值九→>0时,这和式的极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲配上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 上一页下一页现回

设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , )  i i  i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f    Si , 并作和=  n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y,z)在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义 二、对面积的曲面积分的定义

记为 f∫(x,y,z)dS 即』/(x,=lm∑/(5,n,5A 其中f(x,y,z)叫被积函数,Σ叫积分曲面 2对面积的曲面积分的性质 若∑可分为分片光滑的曲面Σ及∑2,则 ∫(x,y,d=(x,,+/(x,y)s 上一页下一页返回

即   f (x, y,z)dS i i i n i =  f i S = → lim ( , , ) 1 0     记为   f (x, y,z)dS.   f (x, y,z)dS =     + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其 中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面

、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 1.若曲面Σ:z=z(x,y) 则‖f(x,y,z)dS= J5Ix, ,z(x,D)N1+z2+zldxdy 上一页下一页返回

[ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy  x y +  +  =   f (x, y,z)dS 1. 若曲面  : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： 三、计算法

2若曲面∑:=(x,x) 则∫∫(x,y,)S= 几x,y(x,z),z1+yx+y2d 3若曲面∑:x=x(y,z) 则∫f(x,y,z)dS= fIx(, 2), v, 2 1+xy+x2 dydz 上一页下一页返回

[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz  x z +  +   =  则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz  y z +  +   =  f (x, y,z)dS 3.若曲面Σ：x = x( y,z) 则 2.若曲面 ： = (x,z)

例1计算∫(x+y+x)d,其中∑为平面 ∑ 卩+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 Σ:z=5-y 投影域: Dy={(x,y)x2+y2≤25 上一页下一页返回

计 算 ( x + y + z)ds, 其 中 为平面 y + z = 5被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的部分. 例 1 积分曲面 ：z = 5 − y , 解 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy = x y x + y 

ds= 1+x+y dxdy 1+0+(-12aty=√ld, 故∫(x+y+a 2(x+y+5-y)t=2+x)dd 2o de (5+rcos O)rdr =125/2t 上一页下一页返回

  故 (x + y + z)ds  = + + − Dxy 2 (x y 5 y)dxdy =  + Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr   =  +   5 0 2 0 2 (5 cos ) = 125 2. dS z z dxdy x y 2 2 = 1+  +  dxdy 2 = 1+ 0 + (−1) = 2dxdy

例2计算xgyz|dS, 其中Σ为抛物面z=x2+y2(0≤z≤1) 解依对称性知: 抛物面z=x2+y2 关于z轴对称, 被积函数xyz|关于 0.5 xOz、yOz坐标面对称 0.5 有=4成立,(21为第一卦限部分曲面) 上一页下一页返回

例 2 计算 xyz dS   | | , 其中  为抛物面 2 2 z = x + y （0  z  1）. 解 依对称性知： 被积函数| xyz |关于 xoz、 yoz 坐标面对称 关于 轴对称， 抛物面 z z x y 2 2 = + 有    = 1 4 成立，(1为第一卦限部分曲面) x y z

dS=√1+x水x2+x1"2ady 1+(2x)2+(2y)2tdy 原式=yz|dsS=4∫ xyz ds 4g(x2+y)1+(2x)+(2y)dd 其中Dx={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0} 上一页下一页返回

dS z z dxdy x y 2 2 = 1+  +  x y dxdy 2 2 = 1+ (2 ) + (2 ) 原式  xyz dS  = | |  xyz dS  = 1 4 xy x y x y dxdy Dxy 2 2 2 2 = 4 ( + ) 1+ (2 ) + (2 )   其中 {( , )| 1 2 2 D xy = x y x + y  , x  0, y  0}