数学：《群论》第五章 对称群（左维）

第五章对称群 51n阶对称群 定义:以n个数字{1,2,,n}间的所有置换操作为元素构成 的群,称为n阶对称群,也称为n阶置换群Sn其元素表示为 n阶对称群共有n!个元素 bb2 群的乘法两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换 逆元:任一置换s∈Sn其逆元为 bb2…b b b

第五章 对称群 5.1 n阶对称群 ■ 定义: 以n个数字{1,2,…,n}间的所有置换操作为元素构成 的群, 称为n阶对称群, 也称为n阶置换群Sn . 其元素表示为 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b       n阶对称群共有n!个元素 群的乘法: 两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换. 逆元:任一置换s∈Sn , 其逆元为 1 2 1 2 ... ... n n a a a s b b b   =     1 1 2 1 2 ... ... n n b b b s a a a −   =    

轮换:一个m阶轮换定义为 a a2 a m-1 a)如果两个轮换中没有公共数字,则称这两个轮换相互独立 b)任意置换可表示为相互独立的轮换的乘积每个轮换称为一个 轮换因子.若两个置换具有相同个数的轮换因子,且相应轮换因 子的长度相等,则称这两个置换具有相同的轮换结构. 对换由两个数字组成的2阶轮换 a)任一轮换可表示为对换的乘积 152333 n12amn)=(a12an)(a2an1)…(a12a3)(a12a2) b)对换满足递推关系 (k,a+k)=(a+1,a+k)(a,a+1)(a+1,a+k) c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积

轮换: 一个m阶轮换定义为 a)如果两个轮换中没有公共数字,则称这两个轮换相互独立. b)任意置换可表示为相互独立的轮换的乘积.每个轮换称为一个 轮换因子.若两个置换具有相同个数的轮换因子,且相应轮换因 子的长度相等, 则称这两个置换具有相同的轮换结构. 1 2 3 4 1 1 2 3 1 2 3 4 5 1 ... ( , , ,..., , ) ... m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a − −   =     对换: 由两个数字组成的2阶轮换 a)任一轮换可表示为对换的乘积. 1 2 3 1 1 1 1 1 3 1 2 ( , , ,..., , ) ( , )( , ) ( , )( , ) m m m m a a a a a a a a a a a a a − − = b)对换满足递推关系. ( , ) ( 1, )( , 1)( 1, ) k a k a a k a a a a k + = + + + + + c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积

共轭元素:置换s的共轭元素st-为对s的上下两行同时进行t置换. a)相似变换不改变置换的轮换结构.即互为共轭的元素具有 相同的轮换结构. b)具有相同轮换结构的两个任意置换互为共轭元素 对换由两个数字组成的2阶轮换 a)任一轮换可表示为对换的乘积 a.ao.d. ,2an)=(a12an)1,am1)…(a12a3)(a1,a2) b)对换满足递推关系 (k,a+k)=(a+1,a+k a,a+1)(a+1.a+ c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积

共轭元素: 置换s的共轭元素tst－1为对s的上下两行同时进行t置换. a)相似变换不改变置换的轮换结构. 即互为共轭的元素具有 相同的轮换结构. b)具有相同轮换结构的两个任意置换互为共轭元素. 对换: 由两个数字组成的2阶轮换 a)任一轮换可表示为对换的乘积. 1 2 3 1 1 1 1 1 3 1 2 ( , , ,..., , ) ( , )( , ) ( , )( , ) m m m m a a a a a a a a a a a a a − − = b)对换满足递推关系. ( , ) ( 1, )( , 1)( 1, ) k a k a a k a a a a k + = + + + + + c)任一轮换可表示为相邻数字对换的乘积