太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）常数项级数的概念和性质

ut ed 第一节常教项数的概念和性质 问题的提出 常数项级数的概念 级数收敛的必要条件 四收敛级数的基本性质

第一节 常数项级数的概念和性质 一 问题的提出 二 常数项级数的概念 四 收敛级数的基本性质 三 级数收敛的必要条件

、问题的提出 1.计算半径为R圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积a1+a2 正3×2形的面积a1+a2+…+an 即A≈a1+a2+…+a 1333 3 十 十 十 3101001000 10 上一页下一页返回

1. 计算半径为R圆的面积 正六边形的面积 a1 R 正十二边形的面积 a1 + a2 正 形的面积 n 32 a1 + a2 ++ an = + + ++ + n 1 0 3 1000 3 100 3 1 0 3 3 1 2. n A  a + a ++ a 即 1 2 一、问题的提出

、常数项级数的概念 一般项 1.级数的定义 ∑u L=L1+W十W2+.+L+ (常数项)无穷级数 级数的部分和 Sn=1+W,十…+L n=∑ 部分和数列S1=l1 29 S3=1+L2+l3,…,Sn=l1+u2+…+un 上一页下一页返回

1. 级数的定义  = + + ++ +  = n n un u1 u2 u3 u 1 (常数项)无穷级数 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2  级数的部分和 部分和数列 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + 一般项 , , s3 = u1 + u2 + u3  sn = u1 + u2 ++ un ,  二、常数项级数的概念

2级数的收敛与发散 当n无限增大时,如果级数∑Ln的部分和 H=1 数列S有极限S,即lmSn=S则称无穷级数 co ∑un收敛,这时极限S叫做级数∑41的和并 1= 1= 写成S=L+L1+…+L.+ 上一页下一页返回

2 级数的收敛与发散 当 无限增大时，如果级数 的部分和 数列 有极限 ，即 则称无穷级数 收敛，这时极限 叫做级数 的和.并 写成   n=1 n un Sn S Sn S n = → lim   n=1 un S   n=1 un S = u1 + u2 ++ un +

如果S没有极限,则称无穷级数∑矶n发散 t=1 即常数项级数收敛(发散)分limS存在(不存在) n→)o 余项Fn=S-S元ln+un2+…=∑ n+L 即S≈S误差为|rn 上一页下一页返

余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 +   = = + i 1 un i (lim = 0) → n n r 如果 没有极限,则称无穷级数 发散. Sn   n=1 un 即常数项级数收敛(发散)  n 存在(不存在) n S → lim 即 Sn  S 误差为 | | n r

例1讨论等比级数(几何级数) ∑Ln=u1+u2+m3+…+un+ = 解如果q≠1时 sn=a+aq+aq2+…+mqgn n q q 上一页下一页返回

2 −1 = + + + + n sn a aq aq  aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − = 解 如果 q  1 时 例1 讨论等比级数(几何级数)  = + + ++ +  = n n un u1 u2 u3 u 1

当q1时:Iimq"=a:imsn=∞发散 如果q=1时 当q=1时,Sn=n→>0发散 当=一时,级数变为a-a+a-a+ ∴ lim s不存在, 发散 n→0 综上「当<时收敛 (当q≥时,发散 上一页下一页现回

当 q  1 时 lim = 0 → n n  q q a sn n −  = → 1 lim 收敛 =  → n n  limq  =  → n n 当 q  1 时 lim s 发散 如果 q = 1 时 当 q = 1 时, sn = na →  发散 当 q = −1 时, 级数变为 a − a + a − a + n 发散 n s → lim 不存在, 综上        = 当 时 ,发散 当 时 ,收敛 1 1 0 q q aq n n

例2判别级数∑ 的敛散性 n(n+2)(n+3 解 (n+2)(n+3)n+2n+3 +(一-)+…+( n+2n+3 3n+3 lim s=lim( =,级数收敛,和为 n→0 n少3n+33 3 上一页下一页回

解 ( 2)( 3) 1 + + = n n un ), 3 1 2 1 ( + − + = n n ) 3 1 2 1 ) ( 5 1 4 1 ) ( 4 1 3 1 ( + − +  = − + − + + n n sn  例2 判别级数  的敛散性.  =1 ( + 2)( + 3) 1 n n n 3 1 3 1 + = − n 3 1 ) 3 1 3 1 lim lim( = +  = − → → n S n n n ,级数收敛,和为 3 1

三、级数收敛的必要条件 定理若级数∑un收敛则imn=0. n→0 证明=∑un则Ln=Sn H-=1 limu =lims, -lims,_ S-S 0. 上一页下一页返回

定理 若级数  收敛,则  n=1 un lim = 0. → n n u 1 lim lim lim − → → →  = − n n n n n n u s s = s − s = 0. 证明   = = n 1 un s , n = n − n−1 则 u s s 三、级数收敛的必要条件

注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 123 例如 十 +(-ny 234 n+1 +…发散 2.必要条件但不充分 ,1.1 例如:调和级数1+++…+-+ 23 有 limu=0,但级数是否收敛? 上一页下一页返回

注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 2.必要条件但不充分. 有 lim = 0, 但级数是否收敛? → n n u + + ++ + n 1 3 1 2 1 例如:调和级数 1  + + − + − + − − 1 ( 1) 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例如 发散