太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）函数项级数

ut ed 第四节函数预级数 函数项级数的概念 函数项级数举例

第四节 函数项级数 一 函数项级数的概念 二 函数项级数举例

函数项级数的概念 1.定义设u1(x),u2(x),,un(x),是定义 在I≤R上的函数则由其构成的表达式 ∑un(x)=u(x)+u2(x)+…+un(x)+ H=1 称为定义在区间Ⅰ上的(函数项)无穷级数,简称 (函数项)级数 例如级数∑x"=1+x+x2+ H=0 上一页下一页返回

1.定义 设 是定义 在 上的函数,则由其构成的表达式 称为定义在区间 上的(函数项)无穷级数,简称 (函数项)级数. u1 (x),u2 (x), ,un (x), I  R  = + ++ +  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n I 1 , 2 0  = + + +  = x x x n n 例如级数 一 函数项级数的概念

2.收敛点与收敛域 (1)如果xn∈数项级数∑u1(x)收敛则称xn H=1 为级数∑un(x)的收敛点否则称为发散点 oo (2)函数项级数∑un(x)的所有收敛点的全体称 H=1 为收敛域,所发散点的全体称为发散域 上一页下一页返回

2.收敛点与收敛域 (1)如果 ,数项级数 收敛,则称 为级数 的收敛点,否则称为发散点.   =1 0 ( ) n un x   =1 ( ) n un x x  I 0 x0   =1 ( ) n (2)函数项级数 un x 的所有收敛点的全体称 为收敛域,所发散点的全体称为发散域

3和函数 Sum function) (1)在收敛域上,函数项级数的和是C的函数(x), 称(x)为函数项级数的和函数 S(x)=1(x)+l2(x)+…+Ln(x) (2)函数项级数的部分和S(x, lim s(x)=(x) n→0 (3)余项r(x)=(x)-Sn(x) limr(x)=0(x在收敛域上) n→0 注:函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是 常数项级数的收敛问题 上一页下一页返回

（3）余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → r n x n 3.和函数(Sum function) s(x) = u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + lim s (x) s(x) n n = → （2）函数项级数的部分和 s (x), n (1)在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 , 称 为函数项级数的和函数. x s(x) s(x) 注：函数项级数在某点 的收敛问题,实质上是 常数项级数的收敛问题. x

函数项级数举例 例1求1+x+x2+x3+…+x"+…,x∈(-1,1) 的和函数 解∵前n项部分和S,(x)= ×(1-x") s(x)=lims, (x)=lim x∈(-1,1) 上一页下一页返回

x(−1,1) 二 函数项级数举例 例1 求 1 , + x + x 2 + x 3 ++ x n + x (−1,1) 的和函数. x x x s x s x n n n n − = − −  = = → → 1 1 1 1 ( ) ( ) lim lim x x s x n n −  − = 1 1 (1 ) 解  前n项部分和 ( )

例2求∑ 归x+nx+n+/收敛域 解Ln(x) n xtn x+n+1 的定义域为x≠-1,2,…,因为 S(x)=∑ kx+kx+k+1′x+1x+n+1 lims, ()=lim n→0 n-yoox+1 x+n+1 x+1 上一页下一页返回

例2 求   = + + − 1 + ) 1 1 1 ( n x n x n 收敛域. 1 1 1 1 1 1 lim ( ) lim + = + + − +  = → → x x n x s x n n n 的定义域为 解 ( 1,2, ) 1 1 1 ( ) =  + + − + = n x n x n un x x  −1, −2,  , 1 1 1 1 ) 1 1 1 ( ) ( 1 + + − + = + + − + = = x k x k x x n S x n k n 因为

故级数的收敛域为 {x|X≠-1,2,,-0<x<+o 上一页下一页返回

故级数的收敛域为 {x | x  −1, −2,  ,−   x  + }