太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）一阶线性微分方程

ut ed 第四节一阶线性微分方程 线性方程 贝努利方程 小结

第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 二、贝努利方程 三、小结

、线性方程 阶线性微分方程的标准形式: dy tP()y=e(x) 当Q(x)≡0,方程称为齐次方程 当Q(x)≡0,方程称为非齐次方程 例如如 hy+x2,m= clint+t2,线性的; 功y2-2xy=3,y-cosy=1,非线性的 上一页下一页返回

P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x)  0, 方程称为齐次方程. 当Q(x)  0, 方程称为非齐次方程. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + 线性的; yy  − 2xy = 3, y  − cos y = 1, 非线性的

阶线性微分方程的解法 dy 线性齐次方程+P(x)y=0. (使用分离变量法) dy =-P(x)x, P(x)dx, Iny=-P(x)dx+InC, 齐次方程的通解为"=CeJP(x 上一页下一页返回

P(x)dx, y dy = − ( ) ,  = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC,  齐次方程的通解为 . ( )  − = P x dx y Ce 一阶线性微分方程的解法 + P(x) y = 0. dx dy 线性齐次方程 (使用分离变量法)

线性非齐次方程"+P(x)y=Q(x) 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 设y=l(x)e()4是方程的解, y=u (xe / P(x)d+(xI-P(xleP(xy 上一页下一页返回

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. ( ) ( )[ ( )] , − ( )  ( )  =  + − P x d x P x d x y u x e u x P x e 常数变易法 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 设 , ( ) ( )  是方程的解 − = P x dx y u x e

将y和y代入原方程得u(x)e P(x)dx =Q(x) P(x)dx 积分得以(x)=Qx)kdx+C, 阶线性非齐次微分方程的通解为 「P(x)x y=[l2()e dx+cle P(x)dx P(x)dx Ce P(x)dx ∫Q(xx P(x)de 对应齐次 非齐次方程特解 方程通解 上一页下一页返

将y和y 代入原方程得 ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx  =  − ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x = +  积分得  一阶线性非齐次微分方程的通解为:   − =  + P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x     = +  − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解

2 例1求方程y (x+13的通解 x+1 2 解P(x)= x+1,Q(x)=(x+1 2 dx ∫(x+1)3cxd dx+c 2ln(x+1) ((x+1)·l)d女) (x+1)(∫(x+1dk+C) =(x+1)2((x+1)2+C) 上一页下一页返回

, 1 2 ( ) ＋ － x P x = ( ) 1 , 3 解 Q x = （ x + ） 1 . 1 2 3 （ ）的通解 ＋ 求方程 － y = x + x 例 1 y   =  +  +   + − y e + x e dx C d x x d x x 1 2 1 3 2 ( 1) ( ) =  +  + + − + e x e dx C 2ln( x 1) 3 ln( x 1) ( 1) ( 1) ). 21 ( 1) ( ( 1) ( ( 1) ) 2 2 2 x x C x x dx C = + + + = +  + +

例2求方程(x+p)y’=y的通解 解方程化成 d x 1 P(y)=--,Q()=y ∫dy dy 〔∫e’d+C le· d y+o y(y+C) 上一页下一页返回

. 2 例2 求方程（x + y）y  = y的通解 解 x y dy y dx − = 1 方程化成 Q y y y P y = − , ( ) = 1 ( ) ( ) 1 1 =  +  − x e ye dy C d y y d y y ( ) ( ) ln ln y y C e ye dy C y y = + =  + −

例3如图所示,平行与J轴的动直线被曲 线y=∫(x)与y=x(x≥0)截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x) 解∫(x)dx=√(x3-y)2, y=x x -y 两边求导得y+y=3x2 f(x) 解此微分方程 上一页下一页返回

例3 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x  f (x) ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x  = −  = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y  + y = x 解 解此微分方程 x y o x P Q 3 y = x y = f (x)

y+y=3x +3r2ojd Cex+3x2-6x+6, 由yl=0,得C=-6, 所求曲线为y=3(-2e+x2-2x 上一页下一页返回

     = + − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0 = 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 ). 2 y e x x x = − + − − 2 y  + y = 3x

、贝努利方程 贝努利方程的标准形式 (xy=Q(x)y(n≠0,1) 当n=0,1时,方程为线性微分方程 当n≠0,1时,方程为非线性微分方程 解法:需经过变量代换化为线性微分方程. 上一页下一页返回

贝努利方程的标准形式 当n  0,1时， 方程为非线性微分方程. 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. n P x y Q x y dx dy + ( ) = ( ) (n  0,1) 二、贝努利方程