太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）函数展开成幂级数

ut ed 第六节函数展开成幂级数 问题的提出 泰勒级数 函数展开成幂级数

第六节 函数展开成幂级数 三 函数展开成幂级数 二 泰勒级数 一 问题的提出

问题的提出 上节例题∑(-1)12=lm(1+x)(-1<x≤1) n 即得形如∫(x)=∑a(x-x0)函数的展开式 n=0 问题是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数? 需要考虑1.如果能展开,an是什么? 2.展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 上一页下一页现回

2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 1.如果能展开, an 是什么? 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1  − = + −    = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 =  −  = 即得形如 函数的展开式. 需要考虑 问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 f ( x) 为和函数? 一 问题的提出

泰勒级数 复习前面的两个公式 1. Taylors公式: f(x)=f(x)+f(x0(x-x0)+ n x-xa)+∴ 0(x-xn)”+R(x) n 其中R,(x) f() n+1 n 5在x与x之间 上一页下一页返回

( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − +  = +  − +  二 泰勒级数 1.Toylor公式： 复习前面的两个公式 ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x  其中  在 x0 与 x之间

2. Maclaurin公式 f(x)=∫(0)+f(0)x+ f"(0)2,f"(0 x x"+r, (x) 2! 其中 Rn()= f"(5)x",4在与x间 (n+1)! 上一页下一页返

( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n + +  = +  +  2.Maclaurin公式 , ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) + + + = n n n x n f R x  其中  在 x0 与 x 之间

函数展开幂级数的必要条件 定理1若f(x)在x处能展开成幂级数 ∑ 0 0 则∫(x)在x∈Ux0,6)内具有任意阶导数且 f(x)(n=0,1,2,… 证明∵∑an(x-x)”在U(xn)内收敛于∫(x =0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x)+ 上一页下一页返回

函数展开幂级数的必要条件. 定理1 若 在 处能展开成幂级数 则 在 内具有任意阶导数,且 f (x) x0 n n an (x x ) 0 0  −  = f (x) ( , ) x x0  ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 证明 在 内收敛于 ,即 n n an (x x ) 0 0  −  =  ( )  x0 f (x) f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n +

逐项求导任意次,得 ∫(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ fm(x)=n!an+(n+1)n…3:2an+1(x-x0)+… 令x=x0,即得 n=n1f"(x)(=0,2)即为泰勒系数 且泰勒系数是唯一的,所以f(x)的展开式是唯一的 上一页下一页返回

f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 ,即得 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 ( ) ( 0,1,2, ) 即为泰勒系数 ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且泰勒系数是唯一的,所以 f (x) 的展开式是唯一的

定义如果x在点x处任意阶可导,则幂级数 ∑ =0 称为∫(x)在点x的泰勒级数∑ f(0) 0m!称为 在f(x)点x0的麦克劳林级数 问题(x)=∑ fnoolr-xo)" 泰勒级数在收敛区间是否收敛于fx)?不一定 上一页下一页返回

问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ? ( )  −  = = 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数. x0 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = n n n x n f   =0 ( ) ! (0) f (x) x0 f (x) x0

例如(x) x≠0 0,x=0 在x=0点任意可导,且f”()=0n=0,1,2,…) oo ∫(x)麦克劳林级数炒0x 0 该级数在(,+0)内和函数(x)≡0.可见 除S=0外,f(x)麦氏级数处处不收敛于∫(x) 上一页下一页返回

(0) 0( 0,1,2, ) 在x=0点任意可导,且 f (n) = n =      =  = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 0 . 0   =  n n  f (x) 麦克劳林级数为 x 该级数在 (−,+) 内和函数 s(x)  0. 可见 除 s = 0 外, f (x) 的麦氏级数处处不收敛于 f (x)

函数展开幂级数的充要条件 定理2f(x)在点x的泰勒级数在U2(x0)内 收敛于f(x)分在U(x)内lmR(x)=0 n→0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数 ∑ f( (x-xo)+r,(x) i=0 R, (x)=f(x)-sm,(x),'. limsn(x)=f(r) n→Q lim Rn (x)=limlf(x)-sm(x)=0; 上一页下一页返回

函数展开幂级数的充要条件. ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  证明 必要性.设 f (x) 能展开为泰勒级数. ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0; 定理2 在点 的泰勒级数,在 内 收敛于 在 内 f (x) f (x)  ( ) x0 U x0 ( ) U x0 lim ( ) = 0. → R n x n

充分性∵:f(x)-Sn1(x)=Rn(x) ∴im∫(x) n+1 n→o (x)=imR(x)=0, 即 lim s+1(x)=f(x), n→0 f(x)的泰勒级数收敛于∫(x) 定理3设∫(x)在U(x)上有定义M>0,对 Vx∈(x0-R,x+R恒有 f(x)≤M,n=0, 则f(x)在(x-R,x+R)内可展开成点x的泰 勒级数. 上一页下一页返回

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = 即 →  f (x) 的泰勒级数收敛于 f (x). 定理3 设 在 上有定义, 对 恒有 则 在 内可展开成点 的泰 勒级数. f (x) ( , ) x x0 − R x0 + R ( ) M  0, U x0 | f (n) (x)| M, n = 0,1,  f (x) ( , ) x0 − R x0 + R x0