太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限（1.5）极限运算法则

ut ed 第五节/极限运算法则 极服运算法则 二极限的不等性 求极限方法举例 四小结与思考判断题

第五节 极限运算法则 一 极限运算法则 二 极限的不等性 三 求极限方法举例 四 小结与思考判断题

、极限的运算法则 极限的四则运算法则 定理1设lmf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)=A±B; (2)im∫(x)·g(x)=A·B; (3)im f(x)A 其中B≠0. g(x) b 证∵lim∫(x)=Aimg(x)=B ∫(x)=A+ag(x)=B+B其中a→>0,B→>0. 由无穷小运算法则,得 上一页下一页返回

定理1 , 0. ( ) ( ) (3)lim (2)lim[ ( ) ( )] ; (1)lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , =   =   =  = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A,lim g(x) = B.  f (x) = A+,g(x) = B +  .其 中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得 极限的四则运算法则 一、极限的运算法则

If(x)±g(x)}-(A±B)=a±B→0.:(1)成立 If(x)·g(x)-(A·B=(A+a)(B+β)-AB =(4B+Ba)+aB→>0 (2)成立 ∫(x)AA+a Ba-AB Ba-A→>0 g(x)BB+Bbb(B+B) 又:月→0,B≠0,彐δ>0,当0B-B=B 上一页下一页返回

[ f (x)  g(x)]− (A B)=   → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (AB)= (A+)(B +  ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + =   (  )   + − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B  0,   0, 0 , 当  x − x0  时 , 2 B    B +   B −  B B 2 1  − B 2 1 =

B(B+B)>B3,故1 < B(B+B)B2 有界 ∴(3)成立 推论1如果imf(x)存在,而c为常数则 lim cf(x)=clim f(c) 常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果imf(x)存在而n是正整数,则 lieff(x)"=lim f(x)l 上一页下一页返回

推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2  B B +   B , 2 ( ) 1 2 B B B  +  故 有界， (3)成立

定理1给出了极限的四则运算法则,它可以推广到 A=∞或B=∞0以及(3)中的某些情形: (1)当A=∞时,而B≠0时lim[∫(x)+g(x)]= (2)当A=∞时,而B≠0时,im[∫(x)·g(x)=0 (3)当A=∞时,而B≠∞0时,lm()= 4)当B=四时,而A≠∞时,Im/(x)=0 g(x) ∫(x (5)当B=0时,而A≠0时,1mn0(x) 上一页下一页返回

定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到 A =  或 B =  以及（3）中的某些情形： （1）当 A =  时，而 B   时， lim[ f (x) + g(x)] =  （2）当 A =  时，而 B  0 时， lim[ f (x) g(x)] =  （3）当 A =  时，而 B   时， =  ( ) ( ) lim g x f x （4）当 B =  时，而 A   时， 0 ( ) ( ) lim = g x f x （5）当 B = 0 时，而 A  0 时， =  ( ) ( ) lim g x f x

关于数列极限也有类似的四则运算法则 定理2(复合函数的极限运算法则) 设函数y=∫[q(x)是由函数y=∫(u)与 u=gp(x)复合而成,y=f[g(x)在点x的某去 心邻域内有定义.若1img(x)=,imf(u)=A x→)X l→L 且存在>0,当∈U(x0,8)时,有(x)≠0 则 im flp(x]=lim f(u)=A L→L 上一页下一页返回

关于数列极限也有类似的四则运算法则 定理2 （复合函数的极限运算法则） 设函数 y = f[(x)] 是由函数 y = f (u) 与 u = (x) 复合而成， y = f[(x)] 在点 x0 的某去 心邻域内有定义．若 0 lim ( ) 0 x u x x = →  f u A u u = → ,lim ( ) 0 且存在  0  0 ，当 ( 0 , 0 ) 时， 0 x U x  有 0 (x)  u 则 f x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0 

证按函数极限的定义,需要证:对任意的 E>0,存在δ>0,当00,存在>0 当00存在 6>0,当0<x-x<8时,(x)-l<m 由条件当x∈U(x28)时,(x)≠ 上一页下一页返回

证 按函数极限的定义，需要证：对任意的   0   0 0  x − x0   f[(x)]− A   ，存在 ，当 由于 u lim →u f (u) = A ，对任意 ，存在 0   0   0 当 0  u − u0   时， f (u) − A   又由于 lim ( ) , 0 0 x u x x = →  对上面得到的   0 ，存在 0  1  ，当 0  x − x0   时， (x) − u0  由条件当 ( 0 , 0 ) 时， 0 x U x  0 (x)  u

取δ=mn{Sn,6},则当0<-0<5时, p(x)-u<η及q(x)-l≠0 同时成成立.即 0<@p(x)-ul< 成立,从而 八q(x)-A=f(u)-A<E 成立 此定理给出了求复合函数的极限的公式 lim flo(x)=lim f(u) x→X L→L 上一页下一页返回

取 min{ , }  =  0  1 ，则当 0  u − u0   时， (x) − u0  及 (x) − u0  0 同时成成立．即 0  (x) − u0  成立，从而 f[(x)]− A = f (u) − A   成立． 此定理给出了求复合函数的极限的公式． lim [ ( )] lim ( ) 0 0 f x f u x→x u→u  =

二、极限的不等性 定理3若lim∫(x)=A,img(x)=B,且f(x)≥g(x) 则有A≥B 证明:令F(x)=∫(x)-g(x)≥0 根据保号性定理,有 lim F(x)=liml f(x)-g(x)20 从而,limf(x)-limg(x)=A-B≥0 即A≥B 上一页下一页返回

二、极限的不等性 证明：令 F(x) = f (x) − g(x)  0 根据保号性定理，有 lim F(x) = lim[ f (x) − g(x)]  0 从而， lim f (x) − lim g(x) = A− B  0 即 A B. A B f x A g x B f x g x  = =  则 有 定理3 若lim ( ) ,lim ( ) ,且 ( ) ( )

、求极限方法举例 例1求lim →2x2-3x+5 A.. lim(x2-3x+5)=limx'-lim3x+lim5 x→)2 (lim x)'-3limx+lim 5 2 →2 →2 =22-3.2+5=3≠0, limx'-lim1 23-17 ∴皿x2-3+5Hm(x2-3+5 2 2 33 x→2 上一页下一页现回

例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x  lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = −  + = 3  0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + −  → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − = 三、求极限方法举例