太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限（1.2）数列的极限

ut ed 第二节教列的极服 数列极限的定义 二收敛数列的性质 小节与思考判断题

第二节 数列的极限 二 收敛数列的性质 一 数列极限的定义 三 小节与思考判断题

、数列极限的定义 1.数列 定义:按自然数1,2,3,…编号依次排列的一列数 1529 n 称为无穷数列,简称数列其中的每个数称为数列的 项,x,称为通项(一般项)数列(1)记为{xn} 例如2,4,8,…,2n,… 1111 2482 2 上一页下一页返回

一、数列极限的定义 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,, xn , (1) 称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{ } xn . 例如 2,4,8,  ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1  n  {2 } n } 2 1 { n 1.数列

n+1 {(-1) n 2 rn+(-1) 223’n ③3,3+、3 9 3+√3+√…+√3 注意:1.数列对应着数轴上一个点列可看作 动点在数轴上依次取x1,x2,…yxn 2数列是整标函数xn=∫() 上一页下一页返

注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2  xn  1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; −  − n+1  {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1   n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3 + 3,  , 3 + 3 + + 3, 

2.数列的极限 观察数列+1y }当n→>∞时的变化趋势 1.75 1 0.75 播放 上一页下一页返回

观察数列 当 →  时的变化趋势. − + − n n n } ( 1) {1 1 播放 2.数列的极限

问题:当n无限增大时,x是否无限接近于某 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察 当n无限增大时,x=1+(=1 无限接近于1 n 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它 xn-1=(-111 nn 上一页下一页返回

问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定? n xn 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它. xn −1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − . ( 1) 1 1 当 无限增大时, 无限接近于1 n n x n n − − = + 通过上面演示实验的观察:

给定 由 100 nm,只要n>100时,有xn-11000时,有 1000 给定 只要n>1000时,有xn-10,只要n>N(=时,有xn-1<成立 上一页下一页返回

, 100 1 给定 , 100 1 1  n 由 只要 n  100时, , 100 1 有 xn − 1  , 1000 1 给定 只要 n  1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1  10000 1 给定 只要 n  10000时, , 1000 1 有 xn − 1  给定   0,只要 ])时, 1 ( [  n  N = 有 −1  成立. xn

定义如果对于任意给定的正数E(不论它多么 小)总存在正数N,使得对于n>N时的一切 xn不等式|xn-ak6都成立,那未就称常数a 为数列x,的极限,或者称数列收敛于a,记为 imxn,=a,或xn→>a(n→>0) n→0 如果数列没有极限,就说数列是发散的 注意:1不等式xn-a<划了x与的无限接近 2N与任意给定的正数有关一般地,E 越小,N越大 上一页下一页现回

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 不等式 x a 刻划了x 与a的无限接近; n n 1. −   ， . . ， 越小 越大 与任意给定的正数 有关 一般地 N 2.N   定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为  N n  N n x | x − a |  n a n x a lim = , → ( → ) → xn a n a n n 或 x

E-N定义: limx =ad n→00 E>0,N>0,使n>N时恒有xn-aN时,所有的点x,都落在(a-E,a+E)内 只有有限个(至多只有V个)落在其外. 上一页下一页现回

x 1 x 2 x xN +1 xN +2 3 x 几何解释: 2 a −  a +  a (至多只有 个)落在其外. 当 时 所有的点 都落在 内 N n N xn a a 只有有限个  , ( −  , +  ) , 其中 :每一个或任给的; :至少有一个或存在. 0, 0, . lim         −  − =  → N n N x a N x a n n n 使 时 恒有 定义：

注意:数列极限的定义未给出求极限的方法 例1证明lim n+(-1) n→0 n+(-1) 证 任给E>0,要xn-1 所以,取N=[,则当n>N时, 就有+(-12 n 1<即lim n 上一页下一页返回

数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 证明 证 xn −1 1 ( 1) 1 − + − = − n n n n 1 = 任给  0, −1   , 要 xn , 1   n 只要 , 1  或n  所以, ], 1 [  取N = 则当n  N时, −   + − − 1 ( 1) 1 n n n 就有 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 即 注意：

n 例2证明lim n-∽n+1 2 证xn-1 n n+1 n+1 任给E>0,要xn-1-1 n+1 2 所以,取N=[-1,则当n>N时, 就有1 -10,寻找N,但不是求最小的V 上一页下一页现回

例2 证 xn −1 1 1 1 − + − = n n 1 2 + = n 任给  0, −1   , 要 xn , 1 2   n + 只要 1, 2  −  或n 所以, 1], 2 = [ −  取N 则当n  N时, −   + − 1 1 1 n n 就有 1. 1 1 lim = + − → n n n 即 1. 1 1 lim = + − → n n n 证明 注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意 给定任给  0, 寻找N ,但不是求最小的N