太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）正项级数及其审敛法

ut ed 第二节正项级数及共审敛法 正项级数的概念 二正项级数的审敛法

第二节 正项级数及其审敛法 一 正项级数的概念 二 正项级数的审敛法

正项级数的概念 定义:如果级数∑un中各项均有ln≥0,则称 该级数为正项级数 2部分和数列的特点:S1SS2≤…≤SnS 部分和数列{sn}为单调增加数列 定理1正项级数收敛的充要条件是 部分和数列{n}为有界数列 上一页下一页现回

定理1 正项级数收敛的充要条件是: 部分和数列 {sn } 为有界数列. 1.定义: un  0， 该级数为正项级数. 如果级数  中各项均有  n=1 un 则称 2.部分和数列的特点: s1  s2  sn  部分和数列 {sn } 为单调增加数列. 一 正项级数的概念

定理2(比较审敛法)设∑1和∑v均为正项级数, n=1 H=1 且nsvn(n=1,2,,若∑收敛则∑un收敛 H-=1 co 反之,若∑n发散,则∑v发散 H=1 H=1 oo 证明(1)设σ=∑v H。 L,+…+≤v十ν,+…+ν≤ 即部分和数列有界,由定理1得∑un收敛 =1 上一页下一页返回

且u  v (n = 1,2,) n n ,若  n=1 n v 收敛,则   n=1 un 收敛； 反之，若  n=1 un发散，则   n=1 n v 发散. 设 和 均为正项级数，  =  =1 n 1 n n n 定理2（比较审敛法） u v 即部分和数列有界,由定理1得   n=1 un 收敛. n u u un s = 1 + 2 ++   , n  v + v ++ v 且 1 2   = = 1 (1) n n 证明  v , n n 设 u  v

(2)设Sn→>(n→>∞)且 u (n→∞)不是有界数列 ∑发散定理证毕 H=1 推论:若∑un收敛(发散) n=1 且vn≤Amn(m≥Nan≤v),则∑v收敛(发散) H=1 注:比较审敛法的缺点是必须有参考级数 上一页下一页返回

推论: 若  n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v  ku n  N ku  v , 则   n=1 n v 收敛(发散). 注：比较审敛法的缺点是必须有参考级数.   =  n 1 n v 发散 定理证毕. n n 则   s →  (n → ) 不是有界数列 (2) s →  (n → ) n , n n 设 且 u  v

例1讨论P一级数 1+—+—+++— (p>0) 234 的收敛性 1 解设P≤1,∵2,则P-级数发散 n 设P>,由图可知1) S.=1+++…+ 23 n d x dx 区 1+ 1234 上一页下一页返回

o y x ( 1) 1 = p  x y p 1 2 3 4 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++   −  + + + n p n p x dx x dx 1 2 1 1  p  1, 由图可知  −  n n p p x dx n 1 1 设 解 p  1, , 1 1 n n p 设   则 P − 级数发散. 例1 讨论 P − 级数 的收敛性. ( 0) 1 4 1 3 1 2 1 1+ + + + + + p  n p p p  p 

dx 1+ =1+-(1 )<1+ x p-1 即s有界,则P级数收敛 甲可得P级数当5、发散 注:重要参考级数几何级数,P-级数,调和级数 上一页下一页返

 = + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 −  + p 注：重要参考级数 几何级数, P-级数, 调和级数.      −   = 当 时 发 散 当 时 收 敛 级 数 1 , 1 1 , 1 p p n P n p 即可得 即 有界,则P-级数收敛. n s

n+1 例2试证明∑ 发散 nn2+5n+2 证明 n+1 n11 2+5n+28n28n 而级数∑ 分8发散 n+1 故级数∑m2+5m+2发散 上一页下一页返回

例2 试证明  发散.  = + + + 1 2 5 2 1 n n n n 证明 n n n n n n 1 8 1 5 2 8 1 2 2  =  + + +    = + + + 1 2 5 2 1 n n n n 故级数 发散 而级数  发散  =  1 1 8 1 n n

定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑un与∑n都是正项级数,如果im“n=l, 则(1)当0<l<+时二级数有相同的敛散性 (2)当l=0时,若∑"收敛则∑un收敛 1= oo (3)当l=+0时,若∑v发散则之n发散 n=1 上一页下一页返回

定理3（比较审敛法的极限形式） 设  n=1 un 与  n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若  n=1 n v 发散,则  n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0  l  + l = 0 l = +   n=1 n v   n=1 un

证明(1)由lm""=l对于E=>0, ->p 2 彐N,当n>N时l-N) 2 2 由比较审敛法的推论,得证 上一页下一页返回

N, 当 n  N 时 2 2 l l v l u l n n −   + 由比较审敛法的推论, 得证. ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n  n  n  证明 l v u n n n = → (1) lim 0, 2 =  l 由 对于 

定理4(极限审敛法)设∑un为正项级数 n=1 (1)如果 clim nu=l>0(或 Elim nu=∞), 则级数∑un发散; n= (2)如果有p>1,使得lmn"un存在 则级数∑un收敛 上一页下一页返回

(1)如果lim =  0 → nu l n n (或 =  → n n lim nu ) , 则级数  n=1 un 发散; (2)如果有 p  1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数  n=1 un 收敛. 设   n=1 定理4（极限审敛法） un 为正项级数