太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）幂级数

ut ed 第五节幂级數 幂级数及其收敛性 二幂级数的运算及其性质

第五节 幂 级 数 一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的运算及其性质

幂级数及其收敛性 1定义1形如∑anx“的级数称为幂级数 当x=0时∑anx",其中为幂级数系数 2.收敛性 例如级数∑x"=1+x+x2+…, 当x<1时,收敛;当x≥1时,发散 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1]v[1,+∞) 上一页下一页现回

2.收敛性: 当 x  1 时,收敛；当 x  1 时,发散. 1 , 2 0  = + + +  = x x x n n 例如级数 收敛域(−1,1); 发散域(−, −1][1,+). 1.定义1 形如 的级数称为幂级数. n n an x  =0 , 0 n n an x  = 当 0 时, x0 = 其中 an 为幂级数系数. 一 幂级数及其收敛性

定理1(阿贝尔Abe定理) 如果级数∑ax在x=x1(xn≠00处收敛则 n=0 它在满足不等式xx的一切x处绝对收敛; 如果级数∑anX在x=x处收敛则它在满足不 =0 等式|x|>x一切x处发散 证明(1)∑anx”收敛 lim,xo=0, n→0 =0 上一页下一页返回

定理1 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 在 处收敛,则 它在满足不等式 的一切 处绝对收敛；   n=0 n an x ( 0) x = x0 x0  | | | | x  x0 x 如果级数 在 处收敛,则它在满足不 等式 的一切 处发散.   n=0 n an x x = x0 | | | | x  x0 x 证明 lim 0,  0 = → n n n  a x  =0 0 (1) n n  an x 收敛

日M,使得n、≤M(n=01,2,) 0 x=an 0 M n 当xanx"收敛 H=0 =0 上一页下一页返回

n n n n n n x x a x a x 0 0 =  n n n x x a x 0 0 =  n x x M 0  ( 0,1,2, ) a x0  M n =  n n  M, 使得 1 0  x x  n n x x  M  =0 0 当 时,等比级数 收敛,   =  n 0 n an x   n=0 n 收敛,即级数 an x 收敛

(2)假设当x=x0时发散,而有一点x适合 x1|x0 使级数收敛 由(1)结论,则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾 几何意义 收敛区域 发散区域一R0R发散区域 上一页下一页返回

x o • • • − R R 几何意义 收敛区域 发散区域 发散区域 (2) 假设当 x = x0 时发散, 而有一点 x1 适合 | | | | x1  x0 使级数收敛. 由(1)结论,则级数当 x = x0 时应收敛, 这与所设矛盾

oo 推论如果幂级数∑ax"不是仅在x=0一点收敛 n=0 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,使得 当xKR时,幂级数绝对收敛; 当x>R时幂级数发散; 当x=R与x=一R时,幂级数可能收敛也可 能发散; 上一页下一页返回

推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数 存在,使得   n=0 n an x x = 0 R 当 | x | R 时,幂级数绝对收敛； 当 | x | R 时,幂级数发散； 当 与 时,幂级数可能收敛也可 能发散； x = R x = −R

定义2正数R称为幂级数的收敛半径.开区间 (-RR)称为幂级数的收敛区间 从而决定了收敛域为以下四个区间之 (一R,R),[-R,R),(一R,R,[-R,R,一 规定(1)幂级数只在x=0处收敛 R=0,收敛域x=0; (2)幂级数对一切x都收敛, R=+∞,收敛域(-∞,+∞) 问题如何求幂级数的收敛半径? 上一页下一页现回

问题 如何求幂级数的收敛半径? 定义2 正数R称为幂级数的收敛半径.开区间 (-R,R)称为幂级数的收敛区间. (−R,R), [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 从而决定了收敛域为以下四个区间之一: R = 0, 规定 收敛域 x = 0; (1)幂级数只在 x = 0 处收敛, R = +, 收敛域 (−,+). (2)幂级数对一切 x 都收敛

定理2如果幂级数∑anx”的所有系数an≠0 =0 设lm=p(或iman=P (1)则当P≠0时,R=;(2则当=0时,R=+ (3则当p=+0时,R=0. 证明对级数∑anx应用达朗贝尔判别法 n+1 a n+1 n+1 m y n→>0a,x n→ 上一页下一页返回

n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = =  x , 证明   n=0 n 对级数 an x 应用达朗贝尔判别法 ( 或 ) 定理2 如果幂级数  的所有系数 ,  n=0 n an x an  0 设 =  + → n n n a a 1 lim =  → n n n lim a (1)则当   0 时, ; 1  R = (2)则当  = 0 时, R = +; (3)则当  = + 时, R = 0

()如果lmn“m=p(≠0)存在 由比值审敛法,当|x时,级数∑|anx“|发散, =0 并且从某个n开始|an+1x"anx",|anx"|0 从而级数∑anx发散,收敛半径R= n=0 上一页下一页返回

lim ( 0) 1 =  + →   n n n a a (1) 如果 存在 由比值审敛法,  1 | x |   =0 | | n n 当 时,级数 an x 收敛,   n=0 n 从而级数 an x 绝对收敛.  1 | x |   =0 | | n n 当 时,级数 an x 发散, | | | |, 1 1 n n n an x  a x + + | |→ 0 n 并且从某个n开始 an x . 1   R =  n=0 n 从而级数 an x 发散, 收敛半径

(2)如果P=0,Vx≠0 n11 有 y→>0(n→∞,级数∑a1x收敛 n+1 n-=0 oo 从而级数∑anx"绝对收敛.收敛半径R=+∞ n=0 (3)如果=+,Vx≠0,级数∑ax”必发散 = (否则由定理1知将有点x≠0使∑|anx"|收敛) n=0 收敛半径R=0 定理证毕. 上一页下一页返回

定理证毕.  R = +;  n=0 n 从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 (2) 如果  = 0, x  0,   =0 | | n n 0 ( ), an x 1 1 → →  + + n a x a x n n n n 有 级数 收敛,  = +, x  0,   n=0 n (3) 如果 级数 an x 必发散.   =0 | | n n (否则由定理1知将有点 x  0 使 an x 收敛) 收敛半径 R = 0