太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限（1.6）极限存在准则与两个重要极限

ut ed 第六节 极限存在准则与两个重要极限 极限存在的两个准则 两个重要极限 三小结与思考判断题

第六节 极限存在准则与两个重要极限 一 极限存在的两个准则 二 两个重要极限 三 小结与思考判断题

极限存在准则 1.夹逼准则(两边夹定理) 定理如果数列xn,y及zn满足下列条件 (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3…) (2)lim yn =a, lim zn =a n→0 n→0 那未数列xn的极限存在,且 limx=a. 证因为n→>a,zn→a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得 上一页下一页回

1.夹逼准则(两边夹定理） 定理Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = =   = → →  那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, 因为 n → n →    0, N1  0, N2  0, 使得 一 极限存在准则

当n>N时恒有yn-aN2时恒有zn-aN时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E, <E成立, limx = a n→ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 上一页下一页返回

, 1 n  N y − a   当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 a −   y  a + , 即 n , 2 n  N z − a   当 时恒有 n a −   z  a + , n 上两式同时成立, 当n  N时, 恒有 a −   y  x  z  a +  , n n n 即 x − a   成立, n lim x a. n n  = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则|′如果当x∈U2(x)(或x>M)时,有 (1)g(x)≤∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, x→x0 C-x (x->00) (x→>0) 那末limf(x)存在,且等于 (x→>) 准则Ⅰ和准则厂称为夹逼准则 注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 并且yn与z的极限是容易求的 上一页下一页返回

准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x   (或 x  M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = =   → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A . 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 I 和准则 称为夹逼准则. ' I

例1求lm( 十∴十 n→√n2+1√n2+2 √n+n 解 十∴ < n+nn+1 √n2+n√n2+1 又lm =lim n→√n-+n n→0 lim m 由夹逼准则得 n→0 n2+1 n→ 十 um 十 ∴十 )=1. n→√n2+1√n2+2 √n+n 上一页下一页返回

例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求  解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 +  + + + +  + n n n n n n n n   n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼准则得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n 

2.单调有界准则 如果数列x满足条件 x1Sx2…≤x≤xn1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn1≥…,单调减少 准则1单调有界数列必有极限 几何解释: , x.x nn+ AMx 上一页下一页返回

x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列xn满足条件 , x1  x2  xn  xn+1   单调增加 , x1  x2  xn  xn+1   单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M

例2证明数列x=、3+、3+√…+√3(m重根 式)的极限存在 证显然xn1>xn,∴{x,}是单调递增的; 又∵x1=√3<3,假定x<3,xk=、3+xk<√3+3<3, x,}是有界的;imxn存在 n→ xm4= 3+xu,x +1=3+xn, limx +1 = lim(3+xn), n→∝ A2=3+A,解得 1+、13 1-、13 2(舍去) 1+√13 m d 2 上一页下一页现回

证 , 显然 xn+1  xn  是单调递增的 ;  x n 3 3, 又 x1 =   3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3,  是有界的;  x n lim 存在. n n x →  3 , n 1 n x = + x  + 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去) . 2 1 13 lim +  = → n n x ) . 例2 (n 式 的极限存在 证明数列 xn = 3 + 3 + + 3 重根

两个重要极限 B sIn m →0y 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<) 作单位圆的切线得△ACO 扇形OAB的圆心角为x,△O4B的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC, 上一页下一页返回

A C 二、两个重要极限 1、 1 sin lim 0 = → x x x x o B D ) 2 , , (0  设单位圆 O 圆心角AOB = x  x  于是有sin x = BD, x = 弧 AB, tan x = AC, 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD

snd sinx0x 上一页下一页返回

sin x  x  tan x, 1, sin cos   x x 即 x 0 . 2 上式对于   也成立  − x , 2 当 0 时   x  0  cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x  , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x  lim(1 cos ) 0, 0  − = → x x limcos 1, 0  = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1 0  = → x x x sin lim

sInx 的图象 利用变量代换可导出压述极限的一般形式 lim Sina(r) =1; a(x)>0a(x) 上一页下一页现回

2 4 6 8 10 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 -8 -6 -4 -2 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 的图象 x sin x 利用变量代换可导出上述极限的一般形式： 1; ( ) sin ( ) lim ( ) 0 = → x x x   