太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）傅立叶级数

ut ed 第八节傅立叶级数 问题的提出 角级数三角函数系的正交性 三函数展开成傅立叶级数

第八节 傅立叶级数 一 问题的提出 二 三角级数 三角函数系的正交性 三 函数展开成傅立叶级数

问题的提出 1,当-丌≤t<0 非正弦周期函数:矩形波u(t)= 1,当0≤t<兀 不同频率正弦波逐个叠加 元 sInt. I 元 sin 3t sin st Sin7t,… 43 上一页下一页返回

非正弦周期函数:矩形波 o t u −  1 −1      − −   =   t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 不同频率正弦波逐个叠加 sin7 , 7 1 4 sin5 , 5 1 4 sin3 , 3 1 4 sin , 4 t  t  t  t     一 问题的提出

u=sint 上一页下一页返回

u sint 4  =

u=-(sint +sin 3t) 3 上一页下一页返回

sin3 ) 3 1 (sin 4 u = t + t 

(sint sin 3t+sin 5t) 元 3 0.5 t 2 1 上一页下一页返回

sin5 ) 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u = t + t + t 

u=-(sint+sin 3t +=sin 5t +-sin7t) 元 3 5 0.5 1 上一页下一页返回

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u = t + t + t + t 

u=-(sint sin 3t +=sin 5t+sin 7t+sin 9t) 3 5 上一页下一页返回

sin9 ) 9 1 sin7 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u = t + t + t + t + t 

u(t)≈-(sint+sin3t+sin5t+sin7t+…) (一丌<t<丌,t≠0) 由以上可以看到:一个比较复杂的周期运动可以看 作是许多不同频率的简诸振动的叠加 上一页下一页返回

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u(t)  t + t + t + t +  (−  t   ,t  0) 由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可以看 作是许多不同频率的简谐振动的叠加

三角级数三角函数系的正交性 1.三角级数( Tr i gonometric series) 引例中的简诸振动函数 f(t)=A+∑A sin(nat+u) n=1 A,+>(A, sin Pn, cos nat+ A, cos P, sin nat) (1) 上一页下一页返回

  = = + + 1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A nt  1.三角级数(Trigonometric series) 引例中的简谐振动函数   = = + + 1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A  nt A  nt （1） 二 三角级数 三角函数系的正交性

i 2=Ao, a,=A, sing, b =A, cospn =C° 则(1)式右端的级数可改写为 +2(a, cos nx+b, sin nx)(2) 2 得到行如(2)式的级数称为三角级数 即:由三角函数组成的函项级数称为三角级数 上一页下一页现回

即:由三角函数组成的函项级数称为三角级数. 则(1)式右端的级数可改写为   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a (2) 得到行如(2)式的级数称为三角级数 x =t, cos , bn = A n n sin , an = A n n , 2 0 0 A a 记 =