太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分及其应用（5.4）定积分的分部积分法

ut ed 第四节定积分的分部积分法 分部积分法 例题

一、分部积分法 二、例题 第四节 定积分的分部积分法

、分部积分法 分部积分公式设函数=(x),v=v(x) 在[a,6上具有连续导数l,v则 uv'dr=luvP-lu'vdx 或mob=[v-w 2.说明 上一页下一页返回

1.分部积分公式 设函数 在 上具有连续导数 则 u = u(x),v = v(x) a,b u ,v , uv dx uv u vdx； b a b a b a   = −  udv uv vdu b a b a b a  或 = − 2.说明 一、分部积分法

(1)应用分部积分公式不需要变换积分限,对 于不含积分号的D项需将积分上下限代入求 差,另一项vh仍按定积分继续计算 (2)应用分部积分公式时,被积函数和的选 取与不定积分的方法一样,需注意的是由于求 定积分,应观察积分区间是否关于原点对称, 被积函数是否是奇函数或偶函数,以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算 上一页下一页返回

u v  (1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 项需将积分上下限代入求 差，另一项 vdu 仍按定积分继续计算. b a uv (2)应用分部积分公式时,被积函数 和 的选 取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算

二、例题 例1计算「xex 解 nXe dx=ha xde Xe e 上一页下一页返回

例1 计算 xe dx . x  1 0 解   1 1 = − 0 = x e e x x xe dx xde   = 1 0 1 0 xe  e dx x x  = − 1 0 1 0 二、例题

例2计算[4sin√xx 解4sin√xax x=0=02xs入 t=√x,dx=2td =2 tsin tdt 4 =-2 td(cost 2 lt cost+2 2 cos tdt 上一页下一页返回

例 2 计算 xdx .  4 0 2 sin  解 t tdt x t x t t x dx tdt  = = = = = = 2 2 0 2 sin 2 , 4 0, 0;, 2    xdx  40 2 sin  2 td(cost) 2 0 = −  t t tdt  = − + 20 20 2 cos 2 cos  

=2lsint2=2 例3设f(x)=t,求x(x sinx 解( 1x/=22 2x= X f(0-=「 sin t dt=0 ↓(=//x2 上一页下一页返回

2sin  2 2 = 0 =  t 例 3 设 ( ) dt ， 求 . t t f x x  = 2 1 sin xf (x)dx  10 解 ( ) x x x x x f x 2 2 2 2sin 2 sin  =  = ( ) 0 sin 1 11 = =  dt t t f ( ) ( )   =   22 10 10 x xf x dx f x d

W f(x) 1X df(x) X 202 f(xdx x sinx adx sinx dx SInx dx cosr COS 2 2 上一页下一页返回

( ) df (x) x f x x  −       = 1 0 2 1 0 2 2 2 ( ) f (x)dx f x = −   1 0 2 2 2 1 dx x x x 2 1 0 2 2sin 2  = − x x dx  = − 1 0 2 sin   (cos1 1) 2 1 cos 2 1 sin 2 1 1 0 2 2 1 0 2 = − = = −  x dx x

例4证明定积分公式 n sin"xdx=2 coS"xdx n-1n-33 n为正偶数, nn-2422 n-1n-342 n为大于1的正奇数 53 证 sin”xol(cosx) 上一页下一页返回

例4 证明定积分公式 I xdx xdx n n n   = = 2 0 2 0 sin cos           − −  −     − −  − = ... ,n . n n n n ... n n n n n 为大于 的正奇数 ， 为正偶数， 1 3 2 5 4 2 1 3 2 2 1 4 3 2 1 3  证 I xd( x) n n sin cos 2 0 1  − = − 

=-Sln"x·cosx+(n slnx·cos"x x n-2 2 12 SIn x =(n No onn e Sin Xo (n-1)n2-(n-1)n 12 1n2…积分递推公式 上一页下一页返回

  ( ) = −  + −  − − 2 0 2 2 2 0 1 sin cos 1 sin cos   x x n x xdx n n (n ) x( x)dx n  = − − − 2 0 2 2 1 sin 1 sin  ( ) ( )   = − − − − 2 0 2 0 2 1 sin 1 sin   n xdx n xdx n n ( ) ( ) n n n 1 I n 1 I = − −2 − − , 1 −2 −  n = n I n n I 积分递推公式

n-4 ,直到Ⅰ,的下标n递减 n-2 到0或1为止.于是 2m-12m-32m-5531 m2m2m-22m-4¨6420 2m2m-22m-4642 2m+1 2m+12m-12m-37531 (m=1,2,3 上一页下一页返回

, , 2 3 −2 −4  − − n = n I n n I n 直到 I 的下标 n 递减 到0或1为止.于是 2 0 2 1 4 3 6 5 ... 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 I m m m m m m I m     − −  − −  − = 2 1 1 3 2 5 4 7 6 ... 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 I m m m m m m I m     − −  − −  + + = (m =1,2,3,...)