太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分及其应用（5.5）广义积分

ut ed 第五节广义积分 无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分

一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 第五节 广义积分

、无穷限的广义积分 1.定义1设∫(x)在a,+∞)上连续,取t>a 如果极限limf(x)d存在,则称此极限为 >+oo da f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分,记作 ∫f(x)d, ∫f(x)t=lmf(x)d b→)+∞ Too 这时称广义积分 xx收敛;若极限不存 在,称广义积分,f(x)发散 上一页下一页返回

1 .定 义 1 设 f (x)在[a,+ )上连续，取t  a， 如果极限  →+  t t a lim f ( x )dt 存在，则称此极限为 f (x)在无穷区间[a,+ )上的广义积分，记作  + a f (x)dx， 这时称广义积分 收敛；若极限不存 在，称广义积分 发散. f (x)dx a + f (x)dx a +  →+  = b b a f (x)dx lim f ( x )dx a + 一、无穷限的广义积分

类似地,设函数∫(x)在区间(-∞,b上连续,取 f<b,如果极限lm,f(x)d存在,则称此极 限为函数f(x)在无穷区间(-∞,b上的广义积 分,记作f(x)d f(x)dx= lim. f(x )dx. 这时称」。f(x)女收敛;若极限不存在,称 ∫∫(x)发散 上一页下一页返回

类似地，设函数 f (x)在区间(− ,b]上连续，取 t  b，如果极限  →−  b t t lim f ( x )dx存在，则称此极 限为函数 f (x)在无穷区间(− ,b]上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx lim f ( x )dx. b t t  →−  = 这时称 收敛；若极限不存在，称 发散. f (x)dx b − f (x)dx b −

设f(x)在(0+)上连续若f(x)和 f(x)都收敛,则称上述两广义积分之和为 f(x)在(-∞,+∞)上的广义积分,记作 + f(x)dx,即 f(x)dx=」。f(x)dk+「f(x lim,f(x)dx+ limi f(x)dx t→-0 +J0 上一页下一页返回

设 f (x)在(− ,+ )上连续,若− 0 f (x)dx和  + 0 f (x)dx都收敛，则称上述两广义积分之和为 f (x) 在 (− ,+ ) 上 的 广 义 积 分 ， 记 作  + − f (x)dx， 即  + − f (x)dx − = 0 f (x)dx  + + 0 f (x)dx  →−  = 0 t t lim f ( x )dx lim f ( x )dx. t t  →+  + 0

两极限均存在称f(x)k收敛,两极限至少 有一个不存在称」f(x)发散 上述各广义积分统称为无穷限的广义积分, 简称无穷积分. 2.说明 (1)设F(x)=f(x),则 C f(dx lim F() -F(a)=F(+oo)-F(a] Tf(yx= F(b)-lim F(t=F(b)-F(ook 上一页下一页返回

两极限均存在称 收敛，两极限至少 有一个不存在称 发散. f (x)dx  + − f (x)dx  + − 上述各广义积分统称为无穷限的广义积分， 简称无穷积分. 2.说明 （1）设 F(x) = f (x) ，则 f (x)dx a + lim F(t) F(a) F( ) F(a)； t = − = +  − →+ = ( )− ( ) = ( )− (−)； →− F b lim F t F b F t f (x)dx b −

∫=/(x)=mF()-mF() F(+ (2)当f(x)为奇函数时,f(x)不能按积 分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为 rf(]dx= lim f(xddx 这里A与B是相互独立的 上一页下一页现回

( ) ( ) ( ) F( ) F( ). f x dx lim F t lim F t t t = +  − −  = − →+ →− + − f (x)dx lim f (x)dx, B A B A   →+ →− + − = 这里A与B是相互独立的. （2）当 为奇函数时, 不能按积 分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为 f (x) f (x)dx  + −

3.例题 例1计算广义积分」ex 解∫ed=l =1. 这个广义积分值的几 何意义是,当→>-0 y 时,图5—7中阴影部 分向左无限延伸,但 X 其面积却有极限值1 图5-7 上一页下一页返回

解   1 . 0 0 = − = − x x e dx e 3.例题 例1 计算广义积分 e dx . x − 0 这个广义积分值的几 t →− 时，图5－7中阴影部 其面积却有极限值1 . 分向左无限延伸，但 何意义是,当 y o x 1 t x y = e 图5－7

例2计算广义积分 sin xdx 解 sin xdx= sin xdx o Sin xdx I-cOSx+I-cosx 极限不存在 + sin xdx是发散的 若认为积分区间关于原点对称,被积函数为 奇函数,按定积分公式③计算就错了 上一页下一页返回

解    + − + − = + 0 0 sin xdx sin xdx sin xdx  cos x  cos x . + = − − + − 0 0 极限不存在 sin xdx  + −  是发散的 例2 计算广义积分 sin xdx .  + − 若认为积分区间关于原点对称，被积函数为 奇函数，按定积分公式③计算就错了

例3计算广义积分Smxb 解先计算定积分 e sinxdx e sinx x sin idle -e x sinx e cos xdx e sin A-n cos xd(e") A -e sin A-e-cosxr-le sinxdx e sin -e cos at e sin xdx 上一页下一页返回

例 3 计算广义积分 e sin xdx . x  +  − 0 解 先计算定积分 e sin xdx A x  − 0 ( ) x A A x e sin xdx sin xd e − −   = − 0 0 e sin x e cos xdx A x A x  − − = −  + 0 0 ( ) x A A e sin A cos xd e − −  = − − 0 e sin A e cos x e sin xdx A x A A x  − − − = − − − 0 0 e sin A e cos A e sin xdx A A A x  − − − = − − + − 0 1

e"sinxdx 2e (sin A+cos 则 e sin xdx= lim e sin xdx A-+∞ iml-e (sin A+COs A) A 上一页下一页返回

e sin xdx  e (sin A cos A) A A x  = − + − −  1 21 0 则 e sin xdx lim e sin xdx A x A x   →+ + − = 0 0 －  ( ) 21 1 21 = − + = − →+ lim e sin A cos A A A