太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分及其应用（5.2）微积分基本定理

ut ed 第二节微积分基本定理 积分上限函数及其导数 积分上服函数求导法则 三、微积分基本公式

一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式 第二节 微积分基本定理

、积分上限函数及其导数 1积分上限函数设∫()在区间[a小上连续, 且xeb,则∫∫()存在如积分上限x 在[a,b上任意变动,那么对于每一取定的x值, 均有唯—的数「(M与之对应,所以”f( 是一个定义在[,上的关于x的函数,记为 (x)=f(t(asx≤b) 上一页下一页返回

1.积分上限函数 设 在区间 上连续， 且 ，则 存在，如积分上限 在 上任意变动，那么对于每一取定的 值， 均有唯一的数 与之对应，所以 是一个定义在 上的关于 的函数，记为 f (t) a,b xa,b f (t)dt x a x x f (t)dt x a f (t)dt x a a,b (x) f (t)dt x a  = (a  x  b) a,b x 一、积分上限函数及其导数

称Φ(x)积分上限函数 2积分上限函数的几何意义积分上限函数 Φb(x)在几何上表示为右端线可以变动的曲边 梯形的面积(图5-6) +△xb 上一页下一页返回

称 (x) 为积分上限函数. (x) (图5－6) 2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数 在几何上表示为右端线可以变动的曲边 梯形的面积 . a  b x y o x + x (x) x

3性质 (1)定理1若f(x)在[a,b上连续,则积分 上限函数(x)=「f(址在n,6上具有导 数,且它的导数Φ(x)=f(x)(a≤x≤b) 证(x+△x)=f(t △=Φ(x+Ax)-Φ(x)(图5-6 f(tdt-If(tat 上一页下一页返回

3.性质 证 (x x) f (t)dt x x a +  +  = ＝(x + x)−(x) (图5－6) f (t)dt f (t)dt x a x x a  = − + f (x) a,b (x) f (t)dt x a  = a,b (x) = f (x) (a  x  b) (1)定理1 若 在 上连续，则积分 上限函数 在 上具有导 数，且它的导数

ff(dt+f(tdt-(dt =f(=(5)△x 5∈(x,x+△x) △d lim(s)=limf($)=f() △x->0 dqp(x) =(x)=f(x) 上一页下一页返回

f ( ) x x 0 x 0 lim lim  →  → =   ( )  f →x = lim = f (x) 即： ( ) (x) f (x) dx d x =  =  ( ) ( ) ( )    = + − + x a x x x x a f t dt f t dt f t dt f (t)dt f ( ) x x x x =  =  +   (x, x + x)

(2)定理2若函数f(x)在[a,b上连续,则积 分上限函数(x)=f()是f(x)在区间 ,b]上的一个原函数 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数, 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系, 从而可能用原函数来计算定积分 上一页下一页返回

另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， (2)定理2 若函数 在 上连续，则积 分上限函数 是 在区间 上的一个原函数. (x) f (t)dt x a  = a,b f (x) f (x) a,b

二、积分上限函数求导法则 1法则1若f(x)在[a,b]上连续,x是 a,b止的某一定点,则x∈a,b有 d rf(tht=f(x) .r(M=-(x) 上一页下一页返回

f (t)dt f (x) dx d x x =  0 f (t)dt f (x) dx d x x = −  0 1.法则1 若 在 上连续， 是 上的某一定点，则 ，有 f (x) x0 a,b xa,b a,b 二、积分上限函数求导法则

2法则2若函数f(x)在闭区间上连续、 x:是[b上的某一定点,函数(x)可微, 且a(x)∈[a,b],则有 f(ut=f[a(a'() 证令D(l)=「f()x,=a(x), d rate)r(dt=du f(u x 上一页下一页返回

(x) (x)a,b ( ) ( ) f t dt f  (x) (x) dx d x x    =   0 2.法则2 若函数 在闭区间 上连续， 是 上的某一定点，函数 可微， 且 ，则有 f (x) a,b a,b x0 证 令 (u) f (t)dt ， ， u x  = 0 u =(x) ( ) ( ) f (t)dt dx d f t dt dx d u x x x  = 0 0 

f(tdn flu).u dt fa(x).a(x) 3法则3若函数∫(x)在区间[a,b]上连续, a(x)∈[a,订B(x)∈[小且a(x)与B(x 都可微,则有 r(O=(x)()r(x)(x) 上一页下一页返回

( ) f (u) u dt du f t dt du d u x =  ==    0 = f (x)(x) 3.法则3 若函数 在区间 上连续， ， ，且 与 都可微，则有 f (x) a,b (x)a,b  (x)a,b (x)  (x) ( ) ( ) ( ) f t dt f  (x) (x) f  (x) (x) dx d x x       =  −  

证yx∈[a,b Pa f(lt=h f(ttt+.f(dt B(x) f(ta a(x) f(tdt d cBc f(tdt d rB(x) f(tt d ra(x) f(tdt dx dx flB(xlB (x -fla(xja(x) 上一页下一页返回

证  x a,b 0  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t dt f t dt f t dt x x x x x  x   = +     0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f t dt f t dt x x x x  = −   0 0  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t dt dx d f t dt dx d f t dt dx d x x x x x  x   = −     0 0 = f (x)(x)− f (x)(x)