太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 向量代数与空间解析几何（7.3）数量积 向量积 混合积

ut ed 第三节数量积向量积混合积 、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积

第三节 数量积 向量积 混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积

两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=Fl|cose(其中0为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 1定义向量a与b的数量积为n·b d·b=‖b|cos6(其中为与b的夹角) 数量积也称为“点积”、“内积” 上一页下一页返回

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 1.定义 数量积也称为“点积”、“内积”. 一、两向量的数量积

关于数量积的说明 (1)a·a=n 证∵6=0,∴·a=l‖ a cos 6=l (2)a·b=0÷→l⊥b 证(→):a·b=0,|a≠0,|b|≠0, c0s=0,=箕,∴a⊥b 2 (÷)alb,,8=;,:c0s6=0, n·b=l‖b|cos6=0. 上一页下一页现回

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

(3)|b|cos(a,b)这个数叫做向量b在向量a上的投影 记作P、b,即 P→b=|b|cos(a2b) ab= cos(a, b)=a p, b r a a·b=b|P,a 旷b 结论:两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 个向量在这向量方向上的投影的乘积 对于a=axi+aυj+ k 上一页下一页返回

b  a  (3) | | cos( , )  → → → b a b 这个数叫做向量 在向量 上的投影. 记作 ，即 → → b rj a P | | cos( , )  → → → → P → b b a b rj a ＝ → →  → → → → → → a b = a  b a b = a P → b rj a | | | | cos( , ) | | → → → → a b = b P → a rj b | | 结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 一个向量在这向量方向上的投影的乘积. ， → + → + → = → k z j a y i a x 对于 a a

由于a1=a|cos(a,x), =a cos(a, y), a,=acos(a, 4) 所以a的坐标(a,a1,2)正是向量a在x,y,z轴上的投影 (4)基本向量的数量积公式 1,j·j=1,kk i·j=0,tk=0,广k=0 上一页下一页返回

| | cos( , ）,  → → 由于ax = a a x | | cos( , ),  → → a = a a y y | | cos( , )  → → a = a a z z ( , , ) 所以 ax ay a z 在 → a 的坐标 正是向量 → a x, y,z 轴上的投影。 （4）基本向量的数量积公式  = 1,  = 1,  = 1 → → → → → → i i j j k k  = 0,  = 0,  = 0 → → → → → → i j i k j k

2数量积符合下列运算规律: (1)交换律:a·b=b·d (2)分配律:(a+b)=l·c+be; (3)若为数:(4a).b=a·()=4(a·b), 若4、数:(4a)·(Ab)=4(a.b) 上一页下一页返回

2.数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

3数量积的坐标表达式 i a=ai+a,+a,k, b=bi+b,j+b, k d·b=(an、i+an+a2k)·(bi+b,j+b2k) i⊥k,∴·j=j·k=k:i=0 i|j=k|=1, ∴·=jj=k·k=1 ·b=a.b.+a b +a b ZZ 上一页下一页返回

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   3.数量积的坐标表达式

4两向量夹角余弦及向量方向余弦的坐标表示式 b d·b=lb|cosb→c0s l‖|b ++a coSB= ax +a+a2b +b 2+h2 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 ib<→a、b+a,b.+a.b=0 yy 上一页下一页现回

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为 4.两向量夹角余弦及向量方向余弦的坐标表示式

向量a与三坐标轴的夹角a,B,y 称为向量d的方向角 由图分析可知 M a=acos a Q a=la cos 的 J 方 a2=|l|cos向 余 x方向余弦通常用来表示向量的方向.弦 di=(ax,an,a2)·(1,0,0)=ax 同理,an=|coB,al2= a cos y 上一页下一页返回

x y z o • M1 •M2    由图分析可知 ax | a | cos  = ay | a | cos   = a | a | cos z  = 向 量 的 方 向 余 方向余弦通常用来表示向量的方向. 弦 ax ay a z ax a  i = ( , , )(1,0,0) =   P Q R ，ay | a | cos，  同理 = a | a | cos z  = 向量 a  与三坐标轴的夹角 , , 称为向量 a  的方向角

向量方向余弦的坐标表示式 当√ax2+an2+a2≠0时, CoSO= la +a +a COS B= 2 2 2 +a.+a COSY 2 2 2 .+a+ 上一页下一页返回

0 2 2 2 当 ax + ay + az  时， cos , 2 2 2 x y z x a a a a + +  = cos , 2 2 2 x y z y a a a a + +  = cos . 2 2 2 x y z z a a a a + +  = 向量方向余弦的坐标表示式