太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.2）二重积分的计算法

ut ed 第二节二重积分的计算法 问题的提出 二直角坐标计算二重积分利用 三利用极坐标计算二重积分 小结

第二节 二重积分的计算法 一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结

问题的提出 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 Ⅱf(x,)dσ=h,∑f(5,男4A 然而,用定义来计算二重积分,一般情况 下是非常麻烦的 那么,有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 上一页下一页返回

  D f ( x , y ) d  i i n i i f     =   = → lim ( , ) 1 0 . 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 一、问题的提出

二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此,先介绍: 1、积分域D: 上一页下一页返回

二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:

(1)X-型域 如果积分区域为:a≤x≤b,g1(x)≤y≤q2(x) q2(x) q2(x) q1(x) (x) X一型] Ⅹ型区域的特点:a、平行于轴且穿过区域的直线 与区域边界的交点不多于两个;b、1(x)≤q2(x). 上一页下一页返回

如果积分区域为： a  x  b, ( ) ( ). 1 x  y   2 x ［X－型］ ( ) 2 y =  x a b D ( ) 1 y =  x D a b ( ) 2 y =  x ( ) 1 y =  x X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线 与区域边界的交点不多于两个；b、 ( ) ( ). 1 x 2 x （1）X-型域

(2)Y-型域:c≤y≤d,(y)≤x≤2(y x=q1(以 x=op(y) x=92(y) x=p2(y) LY一型] Y型区域的特点:a、穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界的交点不多于两个。b、(y)≤q2() 上一页下一页返回

（2）Y-型域： c  y  d, ［Y－型］ ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D c d c d ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界的交点不多于两个。b、 ( ) ( ). 1 2  y  y ( ) ( ). 1 2  y  x  y

2、Ⅹ-型域下二重积分的2 f(,y) 计算: 由几何意义,若f(x2y)≥0 Jf(x,ydxdy=V (曲顶柱体的体积)y=(x)”x、dt y=(1(x 此为平行截面面积为已知的立体的体积截面为曲 边梯形面积为 上一页下一页返回

a x b z y x A(x) z = f (x, y) ( ) 1 y = 2 (x) y =  x 2、X-型域下二重积分的 计算: 由几何意义，若 此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲 边梯形面积为：  = D f (x, y)dxdy V (曲顶柱体的体积) f (x, y)  0 则

z=∫(x,y) A(x)=f(x,y)小y 0(x) 所以: b b. rp2() 和=4)=xy)yx D a p1 上一页下一页返回

y Z ( x ) 1 ( x ) 2 z = f ( x , y ) =  ( ) ( ) ( ) ( , ) xx A x f x y dy 21   = D ba f(x,y)dxdy A(x)dx 所以： f(x.y dy dx ba (x) (x) [ ) ] 2 1   = 

注意:1)上式说明:二重积分可化为二次定 积分计算; 2)积分次序:X-型域先Y后X 3)积分限确定法:域中一线插,内限定上下 域边两线夹,外限依靠它。 为方便,上式也常记为: b q2( dx f(x-y)d小y 注:若f(x2y)≤0仍然适用。 上一页下一页现回

dx f(x.y dy b a (x) (x) ) 2 1     • 注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。 注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。 为方便，上式也常记为：

3、Y型域下二重积分的计算: 同理: LY一型域下] 亦为平行截面面积为已知的立体体积 用y=常数截立体,其截面也为曲边梯形, 面积为:B(y) q2(y) ∫(x,y)dx 于是 ∫(x3)do=[ 2(y) f(, play 1(y) 上一页下一页返回

3、Y-型域下二重积分的计算： 同理： ［Y－型域下］  = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) y y B y f x y dx   于是    = D d c y y f (x, y)d [ f (x, y)]dy ( ) ( ) 2 1    面积为： 用 y 常数截立体，其截面也为曲边梯形， 亦为平行截面面积为已知的立体体积. =

注意:1)积分次序:Y型域,先x后Y; 2)积分限确定法: “域中一线插”,须用平行于X轴的射线 穿插区域。 也可记为:』=。d!(x,y)d 上一页下一页返回

1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法: “域中一线插” , 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。 dy f x y dx D d c y y : ( , ) ( ) ( ) 2 1    =  也可记为  注意: