浙江大学：《数学建模 Mathematical Modeling》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 层次分析法

层次分析法

层次分析法

层次分析模型 背 日常工作、生活中的决策问题 景·涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用,各因素的重要性难以量化 Saty于1970年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process ·AHP 种定性与定量相结合 的、系统化、层次化的分析方法

层次分析模型 背 景 • 日常工作、生活中的决策问题 • 涉及经济、社会等方面的因素 • 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化 • Saaty 于1970年代提出层次分析法 AHP (An alytic Hierarchy Process) • AHP——一种定性与定量相结合 的、系统化、层次化的分析方法

层次分析法的基本步骤 例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择 目标层 O(选择旅游地) 准则层景色费用居住饮食旅途 方案层 桂林 黄山 北戴河

一. 层次分析法的基本步骤 例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. O(选择旅游地 ) P 2 黄山 P 1 桂林 P 3 北戴河 目标层 C 3 居住 C 1 景色 C 2 费用 C 4 饮食 C 5 旅途 准则层 方案层

“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C, 方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系 用相连的直线表示。 °通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方 案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤,给出决策问题的定量结果

“选择旅游地”思维过程的归纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果

层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则C1C2,…,Cn对目标O的重要性 C:C→a.A=(a1m4>0,a1 11/2433 选择旅游地 A~成对比较阵 A=1/41/711/21/3 1/31/52 1/A是正互反阵 1/31/53 要由A确定C1C对O的权向量

层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 / 3 1 / 5 3 1 1 1 / 3 1 / 5 2 1 1 1 / 4 1 / 7 1 1 / 2 1 / 3 2 1 7 5 5 1 1 / 2 4 3 3 A ij ij n n ij ji a A a a a 1 = ( ) × , > 0 , = 设要比较各准则 C 1,C 2,… , C n对目标 O的重要性 i j ij C :C ⇒ a A ~成对比较阵 A是正互反阵 选 择 旅 游 地 要由 A确定 C 1,… , C n 对 O的权向量

成对比较阵和权向量 11/24 成对比较的不一致情况 A a12=1/2(C:C2)一致比较 不一致 13=4(C2:C3) a23=8(C2:C) 允许不一致,但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 W(=1)→w12w2…Wn =(1,2…wn)~权向量

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = " " " " 2 1 7 1 1 / 2 4 成对比较的不一致情况 A 1 / 2 ( : ) a12 = C1 C2 4 ( : ) a13 = C1 C3 8 ( : ) a23 = C2 C3 一致比较 不一致 成对比较阵和权向量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A " " " " " 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 W w w " wn ( 1 ) , , = ⇒ 1 2 ij wi wj 令 a = / w = ( w1 ,w2 ," wn ) T ~ 权向量 考察完全一致的情况

成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足414k=4,i1k=12…,n 的正互反阵A称一致阵,如 致阵·A的秩为1,4的唯一非零特征根为n 性质·4的任一列向量是对应于n的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A,建议用对应于最大特征根Aw=九w 的特征向量作为权向量v,即

成对比较阵和权向量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A " " " " " 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 成对比较完全一致的情况 满足 aij ⋅ajk = aik, i, j,k = 1,2,",n 的正互反阵A 称一致阵，如 • A的秩为 1 ， A的唯一非零特征根为 n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 一致阵 性质 • A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 λ 的特征向量作为权向量w ，即 Aw = λw

成对比较阵和杈向量 Sa等人提出19尺度—a取值 比较尺度12…,9其互反数1,12,,19 便于定性到定量的转化: 尺度 123456789 :C的重要性相同稍强强明显强绝对强 a=1,12,…19C:C的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5,,1~17,,1p-9D(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵,算出权向量,与实际对比发现,1~9尺度较优

Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 成对比较阵和权向量 比较尺度aij 尺度 aij 1 3 5 7 9 2 4 6 8 Ci :Cj的重要性 相同 稍强 强 明显强 绝对强 • 便于定性到定量的转化： Ci Cj a ~ : ij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优

致性检验对A确定不一致的允许范围 已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证:n阶正互反阵最大特征根,且=m时为一致阵 定义一致性指标:CI= ncr越大,不一致越严重 为衡量CⅠ的大小,引入随机一致性指标RⅠ随机模 拟得到an,形成A,计算CⅠ即得R Saaty的结果如下 123456789 1011 RI000.580.901.121241.321.411451.491.51 定义一致性比率CR=CIRI当CR<0.时,通过一致性检验

一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根λ ≥n, 且λ =n时为一致阵 − 1 − = n n CI λ 定义一致性指标: CI 越大，不一致越严重 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n 1 2 345 6 7 8 9 10 11 定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR<0.1时，通过一致性检验

“选择旅游地”中 准则层对目标的成对比较阵力 准则层对目标的权 1/2 向量及一致性检验 471 55 A 1/41/7 1/21/3 1/31/52 最大特征根A=5.073 1/31/53 权向量(特征向量)=(0.263,0.475,0.0550.090,0.110)T 致性指标Cr= 5.073-5 0.018 5-1 随机一致性指标R=1,12(查表) 通过一致 致性比率CR0.01812-001601性检验

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5 2 1 1 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 7 5 5 1 1/ 2 4 3 3 A “选择旅游地”中 准则层对目标的成对比较阵 准则层对目标的权 向量及一致性检验 最大特征根λ=5.073 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 0.018 5 1 5.073 5 = − − 一致性指标 CI = 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 通过一致 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1 性检验