浙江大学：《数学建模 Mathematical Modeling》课程教学资源（课件讲稿）第八章 微分方程模型

微分方程模型

微分方程模型

微分方程模型 1传染病模型 2经济增长模型 3正规战与游击战 4药物在体内的分布与排除 5香烟过滤嘴的作用 6人口预测和控制 烟雾的扩散与消失 8万有引力定律的发现

微分方程模型 1 传染病模型 2 经济增长模型 3 正规战与游击战 4 药物在体内的分布与排除 5 香烟过滤嘴的作用 6 人口预测和控制 7 烟雾的扩散与消失 8 万有引力定律的发现

动态」·描述对象特征随时间空间的演变 模型·分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 微分·根据函数及其变化率之间的关系确定函数 方程,根据建模目的和问题分析作出简化假设 建模 按照内在规律或用类比法建立微分方程

动态 模型 • 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 微分 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 方程 建模 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程

1.传染病模型

1. 传染病模型

问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律, 用机理分析方法建立模型

问题 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型

模型1已感染人数(病人)(0 假设·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为 建模i(t+△t)-i(t)=i(t)△t ai di(t) 0)=101-→0→→>? 若有效接触的是病人, 必须区分已感染者(病 则不能使病人数增加 人)和未感染者(健康人)

模型1 已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为λ 假设 建模 i(t + ∆t) − i(t) = λi(t)∆t 0 i(0) i i dt di = = λ t i t i e λ 0 ( ) = t →∞⇒i→∞ ? 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加

模型2区分已感染者(病人和未感染者(健康人) 假设1)总人数N不变,病人和健康 SⅠ模型 人的比例分别为i(t),s(t) 2)每个病人每天有效接触人数元~日 为,且使接触的健康人致病接触率 建模N(t+△)-i(O=[s(t)]Ni(t)△t di dh =2 Si i(1-i) dt S(t)+i(1)=1 (0)

模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t), s(t) 假设 SI 模型 2）每个病人每天有效接触人数 为λ, 且使接触的健康人致病 λ ~ 日 接触率 建模 N[i(t + ∆t) − i(t)] = [λs(t)]Ni(t)∆t si dt di = λ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i dt di λ s(t) + i(t) = 1

模型2 di= ii(1-i y Logistic A rae i(0) (t) 0 n 2-1lr t=tn,ditt最大 0 tn传染病高潮到来时刻t→>0→i→ λ(日接触率八→tn个病人可以治愈!

t e i i t − λ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − = 1 1 1 1 ( ) 0 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i dt di 模型 λ 2 1/2 tm i i0 1 0 t ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − − 1 1 ln 0 1 i t m λ Logistic 模型 t=tm, di/dt 最大 t → ∞ ⇒ i →1 ? tm~传染病高潮到来时刻 λ (日接触率)↓ → tm↑ 病人可以治愈！

模型3传染病无免疫性—病人治愈成 为健康人,健康人可再次被感染SIS模型 增加假设3)病人每天治愈的比例为4~日治愈率 建模N[i(t+△t)-i(1)]=Ns()i(t)△t-Ni(t)t =i(1-i)-i 元~日接触率 dt i(0)= l/u~感染期 o=h / σ~一个感染期内每个病人的 有效接触人数,称为接触数

传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 模型3 SIS 模型 增加假设 3）病人每天治愈的比例为µ µ ~日治愈率 建模 N[i(t + ∆t) − i(t)] = λNs(t)i(t)∆t − µNi(t)∆t ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = − − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i i dt di λ µ λ ~ 日接触率 1/µ ~感染期 σ ~ 一个感染期内每个病人的 有效接触人数，称为接触数。 σ = λ / µ

模型3 di =1i(1-1)-o=/, ni-(1-一) 1 接触数σ=1~阈值 σ≤1→1(1) O>1 小→(O按S形曲线增长感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SJS模型)的特例

⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ − > ∞ = 0 , 1 , 1 1 1 ( ) σ σ i σ )] 1 [ (1 σ = −λi i − − dt 模型 di 3 i0 i0 接触数σ =1 ~ 阈值 σ =λ/µ σ ≤1⇒ i(t) ↓ ⇒ i(t)按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 0小 健康者人数不超过病人数 1 i σ > 1-1/σ i0 i i i dt di = λ (1− ) − µ i di/dt 0 1 σ >1 0 t i σ >1 1-1/σ i 0 t σ ≤1 di/dt < 0 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例