南京师范大学：《高等几何》课程电子教案（PPT课件）第一章 射影平面（1.4）平面对偶原则

§1.1,2,3习题 习题1.2 18.(属线性代数问题)4+mbnC共线兮不全为0的数p,q,使得 Pla+m,b+n,c)+q(a+m,b+n,c)+r(l3a+m3b+nyc)=0 e(pl+ql+rl3)a+(pm,+gm2+rm3)6+(pn,+n, +rn3)c=0 因为abC不共线)兮[ph1+q2+n13=0 pm,+qm2+rm3=0 pn +gn2+,=0 (因为,q,r不全为0)分 0

§ 1.1, 2, 3 习题 习题1.2 18. (属线性代数问题)l ia+mib+nic共线不全为0的数p,q,r, 使得 p(l 1 a + m1 b + n1 c) + q(l 2 a + m2 b + n2 c) + r(l 3 a + m3 b + n3 c) = 0  ( pl1 + ql2 + rl3 )a + ( pm1 + qm2 + rm3 )b + ( pn1 + qn2 + rn3 )c = 0 (因为a,b,c不共线)      + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 pn qn rn pm qm rm pl ql rl (因为p,q,r不全为0) 0 0. 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =  = l m n l m n l m n n n n m m m l l l

§1.1,2,3习题 习题1.2 19 (h±Vh2-ab)u4-a2=0.或ba4-(h±h2-ab)l2=0 20.求出这两个无穷远点的坐标,写成(14,0)的格式,即可看出 垂直(斜率之积为-1)

§ 1.1, 2, 3 习题 习题1.2 19. 20. 求出这两个无穷远点的坐标, 写成(1,λ, 0)的格式, 即可看出 垂直(斜率之积为–1). 2 2 1 2 1 2 ( ) 0. ( ) 0. h h ab u au bu h h ab u  − − = −  − = 或

§1.1,2,3习题 习题1.2 20.由非齐次关联关系U++1=0,过原点的直线和在无穷远直 线上的点、原点和无穷远直线均没有非齐次方程! 22,23.请自行完成 习题1.3.要求熟练掌握第3题的类型,今后要用

§ 1.1, 2, 3 习题 习题1.2 20. 由非齐次关联关系Ux+Vy+1=0, 过原点的直线和在无穷远直 线上的点、原点和无穷远直线均没有非齐次方程！ 22, 23. 请自行完成. 习题1.3. 要求熟练掌握第3题的类型, 今后要用

§1.4平面对偶原则 重要原理!贯穿全书! 平面对偶原则 基本概念 1).对偶元素点<→直线 (2)对偶运算过一点作一直线→在一直线上取一点 (3)对偶变换互换对偶元素地位、作对偶运算 (4)对偶图形在射影平面上,设已知由点、直线及其关联关系 构成的图形Σ,若对Σ作对偶变换,则得到另一个图形∑称∑、∑ 为一对对偶图形 图形Σ←作对偶变换→图形∑ 互为对偶图形

§ 1.4 平面对偶原则 一、平面对偶原则 重要原理！ 贯穿全书！ 1. 基本概念 (1). 对偶元素 点 直线 (2). 对偶运算 过一点作一直线 在一直线上取一点 (4). 对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系 构成的图形Σ，若对Σ作对偶变换，则得到另一个图形Σ'. 称Σ、 Σ' 为一对对偶图形. 图形Σ 作对偶变换 图形Σ' 互为对偶图形 (3). 对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算

§1.4平面对偶原则 、平面对偶原则 2.基本对偶图形举例 1)点 A (1)直线 (2)点列(共线点集)l(P (2)线束(共点线集 L(p) 1-AB8 (3)点场(共面点集) (3)线场(共面线集) (4)简单m点形:n个点(其中无(4)简单n线形:n条直线(其 三点共线)及其两两顺次连线中无三线共点)及其两两顺次 构成的图形 相交的交点构成的图形 顶点:n个;边:n条 边:n条;顶点:n个 下面分别考察n=3和n=4的情形

一、平面对偶原则 2. 基本对偶图形举例 (1) 点 (1)' 直线 (2) 点列(共线点集) l(P) (2)' 线束(共点线集) L( p) (3) 点场(共面点集) (3)' 线场(共面线集) (4) 简单n点形：n个点(其中无 三点共线)及其两两顺次连线 构成的图形. (4)' 简单n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其两两顺次 相交的交点构成的图形. 顶点：n个；边：n条. 边：n条；顶点：n个. 下面分别考察n=3和n=4的情形 § 1.4 平面对偶原则

§1.4平面对偶原则 简单n点(线)形:n=3 简单三点形 简单三线形 简单n点(线)形:n=4 简单四点形 简单四线形 显然,简单n点(线)形与其顶点边)的顺序有关

简单n点(线)形：n=3 简单三点形 简单三线形 简单n点(线)形：n=4 简单四点形 简单四线形 显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关 § 1.4 平面对偶原则

§1.4平面对偶原则 (5)完全n点形:n个点(其中(5)完全n线形:n条直线(其 无三点共线)及其每两点连线中无三线共点)及其每两直线 构成的图形 交点构成的图形 顶点:n个.边,n(n-1) 条边:n条;顶点:n个 完全n点(线)形:n=3 完全三点形ABC 完全三线形abc 对自对偶图形.将不加区分,简称三点形或三线形

(5) 完全n点形：n个点(其中 无三点共线)及其每两点连线 构成的图形. (5)' 完全n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其每两直线 交点构成的图形. 顶点：n个； 边： 条 2 n(n −1) 边：n条； 顶点： 个 2 n(n −1) 完全n点(线)形：n=3 完全三点形ABC 完全三线形abc 一对自对偶图形. 将不加区分, 简称三点形或三线形. § 1.4 平面对偶原则

§1.4平面对偶原则 完全n点(线)形:n=4 完全四点形ABCD 完全四线形abcd 射影几何中最重要的一对图形

完全n点(线)形：n=4 完全四点形ABCD 完全四线形abcd 射影几何中最重要的一对图形 § 1.4 平面对偶原则

思考:试证明任一完全四点形的三个对边点必定不共线 顶点A,B,C,D 4个边a,b,c,d 4条 边p2q;r2S;t,Ll 6条顶点PQ,R,S;T 6个 对边(没有公共顶点的边) 对顶(不在同一边上的顶点) p, g, r,S, t, u 3组P2Q,R,S;T,U 3组 对边点(对边的交点) 对顶线(对顶的连线 P×q,×S,t×l RS TU Y 3个/PQ, y 3条 对边三点形XYZ 对顶三线形x2 请课后画图,熟悉图形及名称今后将专门研究其重要性质

完全四点形ABCD 完全四线形abcd 顶点 A, B,C, D 4个 边 p,q;r,s;t,u 6条 对边(没有公共顶点的边) p,q; r,s; t,u 3组 对边点(对边的交点) p q, X r  s, Y t u Z 3个 对边三点形XYZ 边 a,b,c, d 4条 顶点 P,Q;R, S;T,U 6个 对顶(不在同一边上的顶点) P,Q; R, S; T,U 3组 对顶线(对顶的连线) PQ, x RS , y TUz 3条 对顶三线形xyz 请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质 思考：试证明任一完全四点形的三个对边点必定不共线

§1.4平面对偶原则 、平面对偶原则1、基本概念2、对偶图形举例 3、作一图形的对偶图形 例1作下列图形的对偶图形(P32,例1.12) 翻译 点P,Q 2个直线Pq 2条 直线l,a,b,C,d 5条点L,A,B,C,D 5个 关联关系 关联关系 1)P,Q在上; (1)'pq过点L; (2)ab供共点于Pc供共点于Q(2),BL共线于p:CD,L共线于 教材P32:4个一般步骤,请在实践中进一步体会

例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12). 点 P,Q 2个 直线 l, a,b, c, d 5条 关联关系 (1) P,Q在l上； (2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q 直线 p,q 2条 点 L, A, B,C, D 5个 关联关系 (1) ' p,q过点L； (2) ' A,B,L共线于p; C,D,L共线于 q 一、平面对偶原则 1、基本概念 2、对偶图形举例 3、作一图形的对偶图形 教材P.32：4个一般步骤, 请在实践中进一步体会. 翻译 § 1.4 平面对偶原则