华南农业大学：《工程力学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 扭转 7.3 薄壁圆筒的扭转

目录 CONTENTS ∠1 应力分析 2 切应力互等定理 3 剪切胡克定律

123 应力分析 切应力互等定理 剪切胡克定律 目录 CONTENTS

一、应力分析 1 薄壁圆筒：壁厚δ≤。6（0：为平均半径) 10 实验： 1.实验前： ①绘圆周线和纵向线 十dx ②施加一对外力偶M

薄壁圆筒：壁厚 0 1 10 δ ≤ r （r0：为平均半径） 实验： 1.实验前： ①绘圆周线和纵向线 ②施加一对外力偶 Me 一、应力分析

一、 应力分析 2.实验后： ①圆筒表面的各圆周线的形状、 大小和间距均未改变，只是绕轴 十-dx 线作相对转动。 (无正应力，无拉压) ②各纵向线均倾斜了同一微小角度Y。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 (有切应力，圆周各点处切应力的方向于圆周相切， 因厚度很小，认为切应力大小相等。)

2.实验后： ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。 ①圆筒表面的各圆周线的形状、 大小和间距均未改变，只是绕轴 线作相对转动。 （无正应力，无拉压） ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 一、应力分析 （有切应力，圆周各点处切应力的方向于圆周相切， 因厚度很小，认为切应力大小相等。）

3.公式推导： 剪切面积 A=2πr.6 取微面积dA 微面积的剪力 dF=t·dA 剪力矩 ∑dFr)=tr.∑dA =t.r.2πrδ =2πr26a 力矩平衡 M。=2πr26z 切应力大小 M。 t= 2πr26

剪切面积 微面积的剪力 A r = ⋅ 2π δ d d F A S = ⋅ τ 剪力矩 力矩平衡 2 2 M r e = π δτ 切应力大小 2 2 M e r τ π δ = 2 (d ) d 2 2 Fr r A S r r r τ τ πδ π δτ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ∑ ∑ 取微面积dA 3.公式推导：

二 切应力互等定理 左右两侧力偶 (tδdy)dx 因平衡，上下两面也必有切应力 的力偶，假设切应力为τ'，力偶 为(x'6dx)dy ∑M:=0 (tδdy)dx=(x6dx)dy d 故 t=t 上式称为切应力互等定理（也称为切应力双生定理）。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相 等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线

0 ( d )d ( d )d M z τδ τ δ yx xy τ τ = = ′ = ′ ∑ 故 上式称为切应力互等定理（也称为切应力双生定理）。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相 等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 左右两侧力偶 ( d )d τδ y x 因平衡，上下两面也必有切应力 的力偶，假设切应力为 ，力偶 为 τ ′ ( d )d τ δ′ x y 二、切应力互等定理

试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。 T T X 7 10MPa 10MPa 20MPa X 20MPa

试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。 τ τ τ τ τ τ τ τ 10MPa 20MPa 10MPa 20MPa τ τ τ √ × × ×

三、剪切胡克定律 a 单元体的四个侧面上只有切应力而 d 无正应力作用，这种情况称为纯剪切。 dx 剪切胡克定律 t=Gy 0 G=tana

单元体的四个侧面上只有切应力而 无正应力作用，这种情况称为纯剪切。 三、剪切胡克定律 剪切胡克定律 τ γ = G G = tanα

剪切胡克定律 t=G·Y 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因y无量纲，故G的量纲 与x相同。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性 材料，这三个弹性常数之间存在下列关系： E G= 21+4） 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来

式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 γ 无量纲，故 G 的量纲 与 τ 相同。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性 材料，这三个弹性常数之间存在下列关系： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。 剪切胡克定律