华南农业大学：《工程力学》课程教学资源（课件讲稿）第11章 应力状态和强度理论 11.2 平面应力状态应力分析的解析法

二向应力状态的普遍形式如图所示，单元体上有C,w和o,Tx

二向应力状态的普遍形式如图所示 ，单元体上有σx ,τ xy和σ y ,τ yx x σx y z σy τ xy τ yx σx σy τ xy τ yx

一、斜截面上的应力 1.截面法 假想地沿斜截面e-f将单元体截开， 留下左边部分的单体元egf作为研究对橡 n

一、斜截面上的应力 1.截面法 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开, 留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象 x y a σx σx τ yx τ xy e f α n e a f σx τ xy τ yx σy σα τα α n α

-Xy L xy

n 2.符号的确定 (1)由轴转到外法线n, X 逆时针转向时a为正 (2)正应力仍规定 拉应力o为正 o x (3)切应力对单元体内任一点取矩， 顺时针转为正 人 ⊕

（1）由x轴转到外法线n, 逆时针转向时α为正 （2）正应力仍规定 拉应力σ为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩, 顺时针转τ为正 2.符号的确定 n τ x α α σ y σ x σ x α τ y τ x τ

dAsina 3.任意斜截面上的应力 设斜截面的面积为dA,-e的面积为dAcosa,-f的面积为 dAsina 对研究对象列n和t方向的平衡方程得 ∑Fn=0o.dA+(亿，dAcosa)sina-(o,dAcosa)cosa+ (dAsin a)cosa-(o,dAsina)sina =0

设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcosα, a-f 的面积为 dAsinα e a f σx τ xy τ yx σy σα τα α n α e a f α dA dAsinα dAcosα 3.任意斜截面上的应力 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得 ( d sin )cos ( d sin )sin 0 0 d ( d cos )sin ( d cos )cos − = ∑ = + − + τ α α σ α α σ α τ α α σ α α A A F A A A yx y n xy x t

dAsina ∑E=0t.dA-(亿dAcosa)cosa-(o.dAcosa)sina+ (dAsina)sina+(o,dAsina)cosa=0

( d sin )sin ( d sin )cos 0 0 d ( d cos )cos ( d cos )sin + = ∑ = − − + τ α α σ α α τ α τ α α σ α α A A F A A A yx y t xy x e a f σx τ xy τ yx σy σα τα α n α e a f α dA dAsinα dAcosα t

>F=0 dA+(sdAcosa)sina-(o,dAcosa)cosa+ (xdAsina)cosa-(o,dAsina)sina =0 >F=0 TadA-(ts,dAcosa)cosa-(o,dAcosa)sina+ (dAsina)sina+(o,dAsina)cosa=0 a 化简以上两个平衡方程最后得 0a= +,-G cos2a-ts sin2a 2 2 Ta = ,-osin2a+cos2a 2

cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 xy xy xy x y xy α α σσ σσ σ ατ α σ σ τ ατ α + − =+ − − = + ( d sin )sin ( d sin )cos 0 0 d ( d cos )cos ( d cos )sin + = ∑ = − − + τ α α σ α α τ α τ α α σ α α A A F A A A yx y t xy x 化简以上两个平衡方程最后得 ( d sin )cos ( d sin )sin 0 0 d ( d cos )sin ( d cos )cos − = ∑ = + − + τ α α σ α α σ α τ α α σ α α A A F A A A yx y n xy x e a f σx τ xy τ yx σy σα τα α n α

二、最大正应力及方位 0a= 2 Ox-Ox cos2a-tx sin2a 2 Ta= Ox-o sin2a+s cos2a 2 1.最大正应力的方位 令 doa=-21 da s-O sin 2a+scos2al=0 2 do tan2ao = 0x-0 a%+90° ,和+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力 所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面

二、最大正应力及方位 1.最大正应力的方位 令 α τ α σ σ τ α τ α σ σ σ σ σ α α 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin xy x y xy x y x y + − = − − + + = sin 2 cos 2 ] 0 2 2[ d d + = − = − α τ α σ σ α σ α xy x y = − − 0 2 tan2 τ α σ σ xy x y    + ° 0 90 0 α α α0 和 α0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力 所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面

2.最大正应力 将和+90°代入公式 Ox+y 0g= 2 x-cos2a-sy sim 2a 2 得到onma和omin 2 t,0极值正应力就是主应力！ 若约定g,>C,则|较小的确定omx所在的平面

2.最大正应力 将 α0和 α0+90°代入公式 α τ α σ σ σ σ σ α 2 2 2 2 cos xy sin x y x y − − + + = 得到σmax和σmin max 2 2 min ( ) 2 2 xy xy xy σ σσ σσ τ σ  + −  =± +  τ α0 =0∴极值正应力就是主应力！ 若约定σx> σy， 则 | α0 |较小的确定σmax所在的平面

三、最大切应力及方位 0a= 2 s-:cos2a-Txysin2a 2 Ta Ox-O sin2a+txcos2a 2 1.最大切应力的方位 令 dt&=2 da s-Os cos2a-ssin2al=0 2 tan 2a1 0x-y %1+90 %1和+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力 所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面

三、最大切应力及方位 α τ α σ σ τ α τ α σ σ σ σ σ α α 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin xy x y xy x y x y + − = − − + + = 1.最大切应力的方位 cos 2 sin 2 ] 0 2 2[ d d − = − = α τ α σ σ α τ α xy x y 令 xy x y τ σ σ α 2 2 1 − tan =    + ° 1 90 1 α α α1 和 α1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力 所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面