华南农业大学：《工程力学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 扭转 7.4 等直圆轴扭转时的切应力

等直圆杆横截面应力分析： 观察变形 提出假设 变形几何关系物理关系 变形的分布规律 应力的分布规律 静力关系 建立公式

等直圆杆横截面应力分析：

一、等直圆杆扭转实验观察： 17 1.横截面变形后仍为平面，、 半径仍保持直线； dx 2.轴向无伸缩，两截面间距 (圆轴扭转的平面假设) 离不变；（无正应力） 3.纵向线变形后仍为平行

1. 横截面变形后仍为平面， 半径仍保持直线； 2. 轴向无伸缩，两截面间距 离不变； 3. 纵向线变形后仍为平行。 一、等直圆杆扭转实验观察： （无正应力） （圆轴扭转的平面假设）

2.变形几何关系： G,G' p.do Yp≈tanye= dx dx do dx 距圆心为p任一点处的y。与到圆心的距离p成正比。 do 扭转角沿长度方向变化率。 dx 对于半径为R的圆轴表面 Y= do dx

2. 变形几何关系： 1 d tan d d G G x x ρ ρ ρ ϕ γ γ ′ ⋅ ≈ == 距圆心为 ρ 任一点处的 γρ 与到圆心的距离 ρ 成正比。 d dx ϕ —— 扭转角沿长度方向变化率。 对于半径为 R 的圆轴表面

3.物理关系： 剪切胡克定律：t=G·Y pg=pG器 代入上式得：t,=G·y,=G tp=PG d dx 横截面上任意点的剪应力T。与该点到圆心的距离P成正比 T max max max 剪应☑图

3. 物理关系： 剪切胡克定律： 代入上式得： τ = G ⋅γ x G x G G d d d d ϕ ρ ϕ τ ρ = ⋅γ ρ = ⋅ ρ = ⋅ 横截面上任意点的剪应力 τ ρ 与该点到圆心的距离 ρ 成正比 τ max T

4.静力学关系： m 取微面积：dA=pdodp 微内力：t,dA 内力系对圆心的力矩 对圆心的力矩：p·t,dA 等于扭矩： 内力系对圆心的力矩：∫，ptdA T=∫pt,dA

4. 静力学关系： 取微面积： dA d d = ρθ ρ 微内力： τ ρdA 对圆心的力矩：ρ τ⋅ ρdA 内力系对圆心的力矩： A ρ τ⋅ ρdA ∫ 内力系对圆心的力矩 等于扭矩： A T dA = ⋅ ∫ ρ τ ρ dθ ρ dρ dA

m T-L.=-Gp4→令13=pd4 ,-Gp服，股 横截面对圆心的 极惯性矩 联过物理联系式，P 得 Tp I

d 2 d d A A d T AG A x ρ ϕ = = ρτ ρ ∫ ∫ 2 d p A I A = ρ 令 ∫ x T GI p d dϕ = 联立物理关系式 得： 横截面对圆心的 极惯性矩 d d G x ρ ϕ τ ρ =

T.P 横截面上距圆心为p处任一点切应力计算公式： 4.公式讨论： ①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 ②式中：T一横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 p一该点到圆心的距离。 I。一极惯性矩，纯几何量，无物理意义

——横截面上距圆心为 ρ 处任一点切应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ρ —该点到圆心的距离。 I p—极惯性矩，纯几何量，无物理意义

1。=∫p'd4 单位：mm4或m4。 ③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I。值不同。 ☆对于实心圆截面： L。=∫p2d4 dp =9p2.2pd0 32

单位：mm4或m4 。 2 d p A I A = ρ ∫ ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是 I p 值不同。 2 2 2 0 4 d 2d 32 p A D I A D ρ ρ πρ ρ π = = ⋅⋅ = ∫ ∫ 对于实心圆截面： D ρ dρ O

女对于空心圆截面： I,=S P'dA o-dp 32D-a) πD4 32 1-) a=8

对于空心圆截面： 22 2 2 4 4 4 4 d 2d () 32 (1 ) 32 p ADd I A D d Dρ ρ πρ ρ π π α = = ⋅⋅ = − = − ∫∫ ( ) Dd α =d D Oρ d ρ

④ 确定最大剪应力： 由 T·p 知：当p=R,tp→Tmax T.R T Tmax 话成-为》 T W,一抗扭截面系数（抗扭截面模量）， W F 纯几何量，单位：mm或m3。 0= 拉压 ☆ 对于实心圆截面： W,=I/R=πD16 对于空心圆截面： W,=1n/R=πD31-a)/16

④ 确定最大剪应力： 由 知：当 max R, ρ ττ = →ρ max ( ) p t pp t TR T T I W I IRW R τ ⋅ ∴ == = = 令 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 纯几何量，单位：mm3或m3 。 对于实心圆截面： 3 16 W IR D t p = = π 对于空心圆截面： 3 4 (1 ) 16 W IR D t p = = − π α F A σ = 拉压