《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）复分析（共七章）

目录1第一章全纯函数251.幂级数52.9复可微函数53.Cauchy 积分1154.恒等定理1855.在Reinhardt域中的展开2056.26实和复可微性57.32全纯映射35第二章全纯域·35$1.连续性定理52.拟凸性424753.全纯凸性$4.Thullen定理5355.全纯凸域57$6.例子6357.C*上的Riemann域67..58.全纯包7683第三章Weierstrass预备定理$1.幕级数的代数8352.Weierstrass 公式87.9153.收敛幂级数54.96素因子分解55.进一步的结论（Hensel环和Noether 环）9956.解析集合103121第四章层论·51.集合的层[2152.具有代数结构的层128it

$3.解析层射135$4.凝聚层138第五章复流形.146$1.复环式空间1465 2.关于复流形的函数论151..$3.复流形的例子15754.C*的闭包…176第六章上同调论184$1.散射（松软）上同调184Cech上同调$2.19453.二重复形200$4.上同调序列205$5.关于Stein流形的主要定理214第七章实方法219$1.切向量219$2.复流形上的微分形式.226$3.Cauchy积分229$4.Dolbeault引理..23355.强层（Dolbeault和deRham的定理）236符号表242参考文献243跋·245

第一章全纯函数引言 4设C是复数域，n是自然数，我们称有序的n个复数构成的集合Cn= ( (21, ..,z,):2,e C, 1<v<n)为n维复数空间。点3EC"的每个分量能被唯一地分解成实部和虚部：2 x+iyy这在C"的元素（81，.）和2n维实数空间R2"的元素（1，x.,y1，·.·，y)之间给出一个唯一的1一1对应.C*是向量空间：两个元素的加法以及C的一个元素与一个（实或复）纯量的乘法以分量方式加以定义：作为一个复向量空间，C”是n维的；作为一个实向量空间，它是2n维的。显然，C”和R"之间的R向量空间同构导致C上的一个拓扑：对于：（1..,) m(xi +.iyi....,x+iy)ECn,令Zx)(x+ ))lallIlall*=,max (1xl,lyr).1由a和3:l*定义C上的范数,而相应的度量由dist(31,82) l131-32ll,dist*(8i,32) l11 - 32ll*给出。在每种情况，我们得到C"上一个拓扑，这个拓扑与通常关于R2n的拓扑一致。C"的其他度量，如由lal一max1l和dist（31,32）13132]所定义的，也诱导出通常的拓扑。一个区域BCC"是开集（具有通常拓扑）；一个域是连通的开集，开集GCC*称为连通的，如果满足下列两个等价条件之：

a.对于每两个点3.33EG，存在一个连续映射@:10,11>C满足(0) (1)且@([0,1])CGb.如果BB,CG是开集，具有B,UB,=G，BnB,=@和B,十，则B，一@。定义.设BCC"是个区域，点EB，集合C（）aEB：和3能够用一条B中的路径连结）称为在B中的分支。.附注，设BCC是一个开集，则：a.对于每个aEB，CB(a和B一CBa）是开集.b.对于每个aEB，CBa）是连通的C. 从 C()nC()+ @ 可得CB(a)C()d. B - U Cr(3).JEB.e如果G是一个域，并且EGCB，则GCC)f.B至多有可数个分支.证明是平凡的。最后，对于EC”，我们定义：U.(80) m zE Cn:dist(3, ) < 6),U*(o) (aE Cn:dist*(o, b) < 8),U'(80) (8e C": dist'(3, 30) < 8).sl.幂级数设M是C”的一个子集，从M到C的映射f称为M上的一个复函数，多项式p(a) 一- ap,sft..x,a..n,E C21**.Vna是特别简单的例子，它定义在所有C上。为简化记号，我们引进重指标：设，1n，是非负整数，一（.,.)是C"上的一个点，我们定义：(op, -2, -

采用这个记号，则多项式可写成p(a) =设点EC"，对以≥0，a是一个复数。则表达定义 1.1.式）称为一个关于%的形式幕级数这样的表达式，正象这名称所说，仅有形式上的意义．对于一个特定3，它未必表示一个复数。由于重指标能够用多种方式排列，所以如何进行求和是不明确的，因此我们必须引进一个适当的收敛概念。定义12. 设9-{(..,):≥0,1≤i≤n),E C"固定,我们称a,(一)"收敛于复数 c,如果对每一个VmO8>0，存在一个有限集I.CS，使得对任意满足1.CICS的有限集1，有Z a,(8 - 30)~ -c/ a( 0)"= c.在这个意义下的收敛和绝对收敛是同义的。定义1.3.设M是C的一个子集，EM，f是M上的一个复 a,(a 一 )"在 M 上一致收敛于 f(3),如函数。我们说幂级数V-0果对每个8>0,存在一个有限集1.C9，使得对每个1.CIC9的有限集I和每个EM，均有Za,(s - 0)"- f(a)]<8.6

a（一）”在一个区域B内部一致收敛，如果级数在B-0的每个紧子集内一致收敛*定义1.4。设BCC"是一个区域，f是B上一个复函数f称为在B中全纯，如果对每个3EB，在B中存在一个邻域UU(so)和一个在U上收敛于f()的霉级数a,(s一o)注意，并不要求在U上一致收敛。现在我们证明为什么逐点收敛就够了。定义1.5.点集V=(r=（r）ER":r≥0,10),ECn,那么 P()=(EC":1z1 <,1 <≤n) 称为具有(多)半径r的关于 的多圆注。 T = T(P)(E C":1%一称为P的特征边界（见图1）(z2/1:t(T)fPT1Jal图1.多圆柱在绝对空间中的像

P一P（）是C中一个凸域，它的特征边界是P的拓扑边界OP的一个子集.对于n=2和&0，情况很容易说明：这时V是R 中的一个象限，(P)是一个开矩形，t(T)是(P)的边界上的一个点．因此T -(EC:lz, rrlz -r) (a (rtei81,rzei8)EC:0M.重指标的集合9是可数的，所以存在一个双射@：N。→3.令b,(s)=ao(n) * g(n),则 Z b.(s) 在 P* 绝对且一致收敛,给定 > 0,存在一个 nE N

使得在 p*上 ≥ 1bn(8)] <e. 令1。二0((0,1,2,.…,n,),如30+果是一个满足1CIC的有限集，则0,1，.….，n}C-(1),因此Zb,(s) -E a/-Zb(3) - b,(3) E b(a) /≤ Z 1b()1 <8,对ep* :EN所以Za"在p*-致收敛。2. 设KCP,是紧的。（Pg:0≤9<1)是P,的一个开覆盖，因而也是K的开覆盖，但另一方面存在一个有限子覆盖(Pa."，Pel.如果我们置qmax9，，q)，则KCP，而P与1)中的P*类似。因此≥α"在上一致收敛，定理得证口其次，我们将考察在什么集合上幂级数收敛，为了简单起见，我们选择。一0作为我们展开的点，相应的结论在一般情况也是成立的：，定义1.7。一个开集BCC称为Reinhardt城,如果iE.B- T,-t-t()CB注释T是环面EC*：121z。定义1.7的条件意味着t（B）=B；一个Reinhardt域由它的在绝对空间中的像T(B)来刻划。定理1.2。一个开集BCC是一个Reinhardt域，当且仅当存在一个开集WCV使得B-（W）证明：1. 设 B- t-i(W), WCV 是开的. 因为 aE B, t(a)Ew,因此 t-it(a)Cr-1(W) - B.1)原文将nEN@-()误为nE"(T)译者注6·.iti

2.设B是一个Reinhardt域。那么B=r-r(B)，并且只要证明t(B）是V中的开集就够了.假设T(B)不是开的，则存在一个点rE(B)，它不是T(B)的一个内点,因而是V一t(B)的一个聚点。设（r,)是V一t(B）中收敛于的一个序列，存在具有t,()的3;EC,使得对所有和1<之n有[=由于（）收敛，所以存在一个MER，使得对所有i和p有r<M．因此，序列（a）也是有界的。从而它必有一个聚点和个具有limt(s,）一的子序列（sj,)。因为是连续的，所以B是一个Reinhardt域，由此t(3) limt(sj,) limtj,可得出E-1(r)C-(B）=B.B是的一个开邻域，所以几乎所有i必须位于B中，从而几乎所有i以）必须位于口t(B）中，这是一个矛盾，因而r(B）是开的：一个Reinhardt域在绝对空间中的象总是个（任意形式）R开集，且这个集合的逆象还是这个域。定义1.8.设GCC是一个Reinhardt域。1.G称为正常的，如果。a，G是连通的；b. OEG.2.G称为完全的，如果:1E GnC-P,CG.图2说明定义.1.8.当一2时在绝对空间的情形TzlTal三国2.(a）完全的Reinkaidt 城，（b)正常的Reinhardt城

当n1.时，Reinhardt域是开圆环的并，在这种情况下完全的和正常的 Reinhardt 域之间无差别显然当n>1时，多圆柱和球=+..+R都是正常的和完全的.Reinhardt域。通常我们有定理1.3.每个完全的Reinhardt域都是正常的。证明：设G是一个完全的Reinhardt，域。存在一个点EGn℃，且由定义0EP,CG.剩下是证明G是连通的。a.设EG是一个一般位置的点（即BEGnC)，&和0之间的连接线段整个地位于P内，因而位于G内。b.从在一个“轴”上。由于G是开的，所以存在一个邻域U()CG，并且我们能找到一个点EU.()AC，因此有一个U中的路径连接和和G中的一个路径连接和0：它们一起就给出G中一条连接和0的路径。口从（a）和（b）可得G是连通的设(s）一a"是一个关于原点的幂级数.集合MC，在其上β(3）收敛，则称为B(3)的收敏集。(a)在M中总是收敛的，而在M之外是发散的。B(())一M称为霖级数()的收敛区域。9是C"内一个形式幂级数。则定理1.4。设β(a）收敛区域BB（（）是一个完全的Reinhardt域：$在B的内部一致收敛。证明：1. 设E B, 测U()t8E Cn: 1 - l 设一（，，）,则B31E：对每个点EB选择这样-个固定点32.如果EB，则存在一个具有P的aEB，）在8