《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）数学分析下册

目录第十二章数项级数.$1级数的收敛性….826正项级数6正项级数收敛性的一般判别原则8比式判别法和根式判别法12三积分判别法14*四拉贝判别法1783一般项级数17交错级数·18绝对收敛级数及其性质·22阿贝耳判别法和狄利克雷判别法三26第十三章函数列与函数项级数26$1一致收敛性，26函数列及其致收敛性…·30函数项级数及其一致收敛性32三函数项级数的一致收敛性判别法·362致收敛函数列与函数项级数的性质44幂级数第十四章44S1 幂级数·44幂级数的收敛区间47幂级数的性质·一49幂级数的运算·三52函数的幂级数展开S2·52泰勒级数·53初等函数的幂级数展开式58*3复变量的指数函数·欧拉公式.62第十五章傅里叶级数....62傅里叶级数$11....62三角级数·正交函数系:64以2元为周期的函数的傅里叶级数二

目录2收敛定理65=82以21为周期的函数的展开式71以21为周期的函数的傅里叶级数7172二偶函数与奇函数的傅里叶级数·83收敛定理的证明78多元函数的极限与连续85第十六章85s1平面点集与多元函数85平面点集88-R2上的完备性定理90三二元函数·91四n元函数.93S2二元函数的极限93二元函数的极限97累次极限，二100S3二元函数的连续性100二元函数的连续性概念102有界闭域上连续函数的性质一107多元函数微分学第十七章107$1可微性107可微性与全微分108二偏导数·110可微性条件三112可微性几何意义及应用四 118复合函数微分法S2.118复合函数的求导法则122复合函数的全微分二124..83方向导数与梯度.1274泰勒公式与极值问题84127高阶偏导数133中值定理和泰勒公式一136极值问题三144隐函数定理及其应用第十八章144S1隐函数144隐函数概念145隐函数存在性条件的分析二146隐函数定理三149隐函数求导举例四

目录3S2隐函数组152152隐函数组概念：152隐函数组定理三...154反函数组与坐标变换$3:159几何应用·159平面曲线的切线与法线159-空间曲线的切线与法平面162m曲面的切平面与法线164条件极值S4172第十九章含参量积分..172$1含参量正常积分179$2含参量反常积分:179一致收敛性及其判别法.184二含参量反常积分的性质.190$3欧拉积分·190F函数192B函数一.194.三F函数与B函数之间的关系.· 197第二十章曲线积分19781第一型曲线积分:197..第一型曲线积分的定义198一第一型曲线积分的计算.202-S2第二型曲线积分202第二型曲线积分的定义204二第二型曲线积分的计算·208*三两类曲线积分的联系211第二十一章重积分…211S1二重积分概念211-平面图形的面积.213二重积分的定义及其存在性二.-：216三二重积分的性质..21882直角坐标系下二重积分的计算-22483格林公式·曲线积分与路线的无关性...：224.格林公式：227曲线积分与路线的无关性-:23384二重积分的变量变换233二重积分的变量变换公式·

自录4用极坐标计算二重积分237S5三重积分243.三重积分的概念243二化三重积分为果次积分244三247三重积分换元法$6重积分的应用252252曲面的面积.二255重心三256转动惯量258四引力260*S7n重积分**266*$8反常二重积分.266无界区域上的二重积分271二无界函数的二重积分272*S9在一般条件下重积分变量变换公式的证明280第二十二章曲面积分280S1第一型曲面积分280第一型曲面积分的概念280二第型曲面积分的计算28382第二型曲面积分283曲面的侧284-第二型曲面积分概念286三第二型曲面积分的计算288*四两类曲面积分的联系290高斯公式与斯托克斯公式S3290高斯公式292.二斯托克斯公式297*$4场论初步297.场的概念-298梯度场二299三散度场，..301四旋度场303管量场与有势场五307*第二十三章流形上微积分学初阶...307.s1n维欧氏空间与向量函数307n维欧氏空间309二向量函数

目录5三向量函数的极限与连续310$2向量函数的微分313313可微性与可微条件317可微函数的性质320三黑赛矩阵与极值-$3323反函数定理和隐函数定理323反函数定理326-1隐函数定理329三拉格朗日乘数法外积、微分形式与一般斯托克斯公式33184331从定积分和二重积分变换公式谈起332向量的外积及它与相应行列式的关系.332.-外积与微分形式三334.微分形式的外微分四334雅可比行列式符号的几何意义（二维情况）五335用外积来理解多重积分的变量变换公式六336七行列式符号的几何解释-338八一般的斯托克斯公式.342习题答案361引索365人名索引

第十二章数项级数81级数的收敛性读者已经在初等数学中知道：有限个实数u1，u2，，un相加，其结果是一个实数.本章将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.例如，在第二章提到《庄子天下篇》“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那一部分的长度“加”起来：141.12+22+232n这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面由“无限个数相加”的表达式1 + (- 1) + 1 + (- 1) + .中，如果将它写作(1 -1) + (1 - 1) + (1 - 1) +.. = 0 + 0 + 0 + ..其结果无疑是0，如写作1 + [(- 1) +1] + [(- 1) +1] + = 1 +0 +0 + 0 + ..其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，“无限个数相加”不能简单地引用有限个数相加的概念，而需建立它本身严格的理论，定义1给定一个数列un」，对它的各项依次用+”号连接起来的表达式(1)ui+u?+...+un+.称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中u，称为数项级数（1)的通项或简单写作un：数项级数(1)也常写作：Zu.n=1数项级数（1)的前n项之和，记为2u. = + . + un.(2)S, ==1称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和。定义2若数项级数(1)的部分和数列IS,|收敛于S（即limS,=S）,则称

2第十二章数项级数数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和，记作S=u,+u2+...+un+.或S=Zun.若（S，I是发散数列，则称数项级数（1)发散例1讨论等比级数（也称为几何级数）(3)a + aq + aq? +... +aq" +的收敛性(a0)解q≠1时，级数(3)的第n个部分和1-q"Sn = a + aq + ... +aq"1因此,1-q"a此时级数(3)收敛，其和为(i)当|q|1时，limS,=o0，级数(3)发散，(ii）当g=1时,S,=na，级数发散当q=-1时,S2=0,S2+1=a，=0,1,2,级数发散口总之，1g/<1时，级数(3)收敛；1g/≥1时，级数(3)发散例2讨论数项级数111(4)n(n+1)+.1:2+23+的收敛性，解级数(4)的第n个部分和111Sn:Fn(n+1)1.2+23=(1-)+(-)+(--+)1=1n+i由于-1lim Sn = lim (因此级数(4)收敛,且111口= 1.n(n+1)1.2+2.3由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性)，是由它的部分和数列1S,l来确

381级数的收效性定，因而也可把级数(1)作为数列S,的另一种表现形式.反之，任给个数列(α,，如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是Eun(5)=ai+(a2-ai)+(a3-a2)+...+(an-an-1)+."".这时数列ia,l与级数(5)具有相同的敛散性，且当(a,i收敛时，其极限值就是级数(5)的和.基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质推出下面有关级数的一些定理、定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1)收敛的充要条件是：任给正数E，总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p，都有(6)N)和po,有(7)ZE0...+umIum,+1 + umg+2 +由定理12.1立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件，推论若级数(1)收敛,则lim un = 0.例3讨论调和级数11 +2的敛散性，解这里调和级数显然满足推论的结论，即1=0limlimunIn1-但令p=m时,有-T1um+1 + um+2 ++u2mm+2n+m112m2m2m12,对任何正整数 N,只要m>N和p=m就有(7)式成立.所以因此，取0口调和级数是发散的收敛例4应用级数收敛的柯西准则证明级数>

第十二章数项级数证由于I um+1 + um+2 + .. + um+p!11(m +1)2+(m +2)2 +(m + p)211N及对任意正整数p,由上式就有因此,对任给正数ε,取 N=1N及对任意正整数p恒有（6)式成立.由此可见，一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关.从而我们可得到以下定理，定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性，由此定理知道，若级数u，收敛，其和为S，则级数(8)un+1+ un+2 +也收敛，且其和R=S-S,.（8)式称为级数》u，的第n个余项（或简称余项），它表示以部分和S，代替S时所产生的误差定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和，证设≥un为收敛级数，其和为S.记Vi = ui + .". + un,,V2 = un,+1Up = un--+i +.*.TU也收敛，且其和现在证明Zun加括号后的级数（u++..+u也是S.事实上，设S,为收敛级数un的部分和数列，则级数≥u的部分和

81级数的收敛性5数列Sn/是IS,I的一个子列.由于（S,收敛，且limS,=S.故由子列性质，口{S,l也收敛，且limS,=S，即级数us收敛，且它的和也等于S注意：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如(1 -1) + (1 -1) +... +(1 -1) + ... 0 +0 + 0 +. = 0收敛，但级数1-1+1-1+..却是发散的.习 题1.证明下列级数的收敛性，并求其和数：1(1++++(5n-4)(5n+1)+(+)+.(2)()+(）I+...+3n1C(3) 2n(n+1)(n+2)(4)2(n+2-2/n+1+/n);(5) 2 2n -12n2.证明：若级数Zun发散，c≠0,则Zcu,也发散，3.设级数un与u都发散，试问（un+U）一定发散吗？又若u，与（n=1,2，)都是非负数，则能得出什么结论？74.证明：若数列lanl收敛于a,则级数(anan+1)=ai-a5.证明：若数列1b,l有limb,=00,则（1）级数Z(bn+1-b,）发散；(11(2)当b,0时，级数((bm-bn+1)h6.应用第4,5题的结果求下列级数的和；1(1) >(atn-1)(a+n);(2) 2(-1)n+1. 2n t1n(n+i)2n +1(3) 台（n2+1)[(n+1)2+1）7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性：(2) 2(1"n2.(1) 2;2*;2n2+11(3) (-1)"(4) ZTntn