《复变函数论》课程教学课件（讲稿）初等函数

一、指数函数定义2.5对于复数z=x+iy称W=e"=ex+iy为指数函数对于任意实数e'=cosy+isiny称为欧拉公式

一、指数函数 cos y sin y y e i i = + 对于任意实数 y ， 为指数函数 对于复数 称 z x i y w e e z x iy + = = 定义2.5 = + , 称为欧拉公式

指数函数的性质1、指数函数=e在整个复平面有定义在整个复平面是解析且有：（e"）=ez2、当y=0时，e=e,所以w=e是实变指数函数在复平面上的解析拓广；3、由定义可知le"=etArge"=y+2k元，k=0,±l,±2,..4、e+0

变指数函数在复平面上的解析拓广； 2、当y = 0时，e z = e x ,所以w = e z 是实 指数函数的性质 在整个复平面是解析，且有： 1、指数函数w = e z 在整个复平面有定义， z z (e )'= e y k k , , , | | z z x Arge 2 0 1 2 e e = +  =   = ， 3、由定义可知. z 4、e  0

5、若z} =X +iy,, = x, +iy2, 则e1 .e2 =e-1+22但(ei) =e,未必成立，如(e) e即e无乘幂的意义.与实指数函数的区别之一。6、W=e"是以2k元i为周期的周期函数：即 e=+2kri =e".e2kri =e"(cos2kπ+isin2kπ)=e'.与实指数函数的区别之二7、z→8时，w=e无极限lime=limer=0事实上：lime=lime=+oo,Z-00X-002-00+0==X>0Z=X<0

6、w = e z 是以2ki为周期的周期函数： 5、若z1 = x1 + iy1 ,z2 = x2 + iy2 ，则 . z z z 2 1 2 e e +  = 1 z e 7、z → 时，w = e z 无极限，(cos k sin k ) . z 2kπ z k z z e e e e 2 i 2 e i 2 i =  = +  = 即 +  lim lim , x x z x z = = + →+ =  → e e z 0 事实上： lime lim 0 z 0 = = →− =  → x x z x z e 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) i z z z z i e e e e   − − 但 =  ，未必成立，如 z 即 无乘幂的意义.与实指数函数的区别之一。 e 与实指数函数的区别之二

二、对数函数定义2.6把满足e"=z(z±O)的函数w=f(z）称为对数函数，记作w=Lnz.令w=u+iv, z=re"，那么e"+iv =re'0=u=lnr,v=0+2k元(k=0,±1,±2,..)Lnz =In=+iArgz =In=+i(argz +2k元)(k = 0,±1,±2,...)

二、对数函数 定义2.6 , . ( ) ( ) w z z z w f z w Ln e 0 = =  = 称为对数函数 记作 把满足 的函数 l n , ( 0 1 2 ) , , . ， ， ， 令 那么  = =  +  =   = + = =  +  u r v k k w u iv z r e e r e i u i v i 2 ( 0 1 2 ) Ln ln i ln i(arg 2 ) k , , , z z z z z k . =   = + Arg = + + 

由定义可知：w=Lnz是z的无穷多值函数当Argz取主值argz时，称为Lnz的主值，记作 Inz =lnz+iargz,这是Lnz的一个单值分支其余各个分支为：Lnz=lnz+i2k元(k= 0,±1,±2,·..一

w = Lnz 当Argz取主值argz时，称为Lnz的主值， Ln ln i2 ( 0，1， 2，) 其余各个分支为： z = z + k k =   这是 的一个单值分支 记作 ， z z z z Ln ln = ln + iarg 由定义可知： w= Lnz 是 z 的无穷多值函数 的无穷多值函数 的无穷多值函数

例如当z=a>0.Lna的主值lna（argz=0）Lna=lna+2元ik(k=0,±1,±2,..)当z=-a(α>0） Ln(-a)的主值ln(-a)=lna+πiLn(-a)=lna+(2k+1)元i特别 a=-1 In(-1)=lnl+πi=iLn(-1) =(2k +1)πi注：w=Lnz不仅对正数有意义，对一切非零复数都有意义.（负数也有对数）注：在实变函数中，负数无对数，此例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.因此，复变数对数函数是实变数对数函数的拓广

Ln ln 2 i ( 0 1 2 ) 0 Ln ln (arg 0) a a k k , , , z a , a a z = +  =   例如 当 =  的主值 = ( a ) a ( k ) i z a( a ) ( a ) ( a ) a i − = + +  = −  − − = +  Ln ln 2 1 当 0 Ln 的主值ln ln Ln k i a i i    ( 1) (2 1) 1 ln( 1) l n1 − = + 特别 = − − = + = .(负数也有对数 ) Lnz , 复数都有意义 注：w = 不仅对正数有意义 对一切非零 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范 围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因 此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广

对数函数的性质：(1) Ln(z}2)= Lnz, + Lnz2 , Ln = = Lnz - Lnz222都表示集合注：这两个式子两端等式 Lnz"=nLnz，Ln^/z=-Lnz.(n>1)不成立n(2)连续性：lnz在除去原点与负实轴外处处连续因此Lnz的各个分支在复平面上除原点及负实轴外处处连续

对数函数的性质： 注：这两个式子两端 都表示集合 1 2 2 1 (1) Ln( 1 2 ) Ln 1 Ln 2 Ln Lnz Lnz z z z z = z + z , = − ln . (2) : 在除去原点与负实轴外处处连续 连续性 z . z 负实轴外处处连续 因此Ln 的各个分支在复平面上除原点及 z. ( n ) . n z n z, z n n Ln 1 不成立 1 等式 Ln = Ln Ln = 

(3)解析性的平面内解析，且Inz在除去原点与负实轴11dw主即(Inz)'=ewdzdzZZdw由Lnz=lnz+i2k元(k =0,±1,±2,...)故Lnz的每个分支（lnz）除了原点和负实轴外均是解析的，且（lnz)'=今后我们应用对数函数Lnz时，指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支

e z dw dz dz dw w 1 1 1 = = = z z 1 即 (ln )'= 在除去原点与负实轴 的平面内解析 且 解析性 lnz , (3) . z ( z ) ' z ( z ) k k 1 ln Ln ln 均是解析的，且 = 故 的每个分支 除了原点和负实轴外 由Lnz = lnz +i2k ( k = 0，1， 2，) 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及 负实轴的平面内的某一单值分支

例1求下列各式的值：(1)Ln(-2+ 3i); (2)Ln(3- /3i); (3)Ln(-3)解 (1)Ln(-2 +3i)=In-2+3i+iArg(-2+3i)1In13+il元-arctan+2k元P(k=0,±1,±2,..)

9 例 1 (1)Ln( 2 3 ); (2)Ln(3 3 ); (3)Ln( 3). : − + i − i − 求下列各式的值 解 (1)Ln ( − 2 + 3 i ) = ln − 2 + 3i + iArg(−2 + 3i)2 . 23 ln13 arctan 21   = + i  − + k (k = 0, 1,  2,)

(2)Ln(3-/3i)=In3-3i+iArg(3-/3i)3=In2/3+il+2k元arctan31=In2/3 +i 2k元-(k=0,±1,±2,.·）1(3)Ln(-3) = In- 3 +iArg(-3)=ln3+(2k+1)元i.（k=0,±1,±2,..）

. 6 ln2 3 2        = + i k − (k = 0, 1,  2, ) (3)Ln(−3) = ln − 3 + iArg(−3) = ln3 + (2k + 1)i. (k = 0, 1,  2, ) (2)Ln(3 − 3i) = ln3 − 3i + iArg(3 − 3i)       +  − = + i 2k 3 3 ln2 3 arctan