《复变函数论》课程教学课件（讲稿）原函数

一、主要定理和定义1.两个主要定理：定理一如果函数 f(z)在单连通域B 内处处解析那末积分(f(z)dz 与连结起点及终点的路线C 无关.由定理一可知：解函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关，（如下页图）G2:44:26

一、主要定理和定义 定理一 ( ) , ( )d . C f z B f z z C  如果函数 在单连通域 内处处解析 那末积分 与连结起点及终点的路线 无关 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理:

如果起点为Zo,终点为zl，BB5Z.010CCf(z)dz=[ f(z)dz=[ f(z)dz20C牛如果固定 zo,让 z, 在B内变动,并令 zi= z,便可确定 B 内的一个单值函数 F(z)= ~f()dVG2:44:26

B B  0 z 1 z  0 z 1 z C1 C2 C1 C2 0 1 如果起点为 , , z z 终点为   = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z  = 1 0 ( )d z z f z z 0 1 1 如果固定 , , , z z B z z 让 在 内变动 并令 = 0 ( ) ( )d . z z B F z f =   便可确定 内的一个单值函数 

定理二如果函数,f(z)在单连通域B 内处处解析那末函数 F(z)=(~f()d 必为 B 内的一个解析函数,并且 F'(z)= f(z)证禾利用导数的定义来证设z为B内任一点B以z为中心作一含于B 内的小圆K,VG2:44:26

0 ( ) , ( ) ( )d , ( ) ( ). z z f z B F z f B F z f z =    =  如果函数 在单连通域 内处处解析 那末函数 必为 内的一个解 析函数 并且 定理二 证 利用导数的定义来证. B 设 , z B 为 内任一点 z , z B K 以 为中心作一含于 内的 小圆 K

取 [△zl 充分小使 z+△z 在 K 内,由 F(z) 的定义,F(z+△z)-F(z)={2+" f()d - (" f()dg由于积分与路线无关z+Azf(S)d的积分路线可先取z到z20(注意:这一段与f(S)ds的4B路线相同）SZ0然后从z沿直线到z+△zVG2:44:26

B z K 取 ,  +  z z z K 充分小使 在 内 z + z F(z + z) − F(z) =  − + z z z z z f f 0 0 ( )d ( )d 由于积分与路线无关, 0 0 ( )d , z z z f z z   +   的积分路线可先取 到 然后从 z 沿直线到 z + z,  0 z •  0 ( : ( )d ) z z f   注意 这一段与  的 路线相同 由 ( ) , F z 的定义

Z+Az于是 F(z+z)-F(z)=f()dsPz+Az3+A2因为f(z)d =f(z)d = f(z)Az,F(z+ △z) -F(z)所以f(z)zf()d-f(z)AzJBS17+47Z0[f() - f(z)]dsAz.OG2:44:26

于是 ( ) ( ) F z z F z +  − = ( )d ,  z+z z f   ( )d z z z f z  +  = 因为   z+z z f (z) d = f (z)z, B z K z + z  0 z •  ( ) ( ) ( ) F z z F z f z z +  − −  所以 ( )d ( ) 1 f f z z z z z −  =  +   [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z −  =  +

因为f(z)在B 内解析，所以 f(z)在B 内连续故>0,>0,使得满足-z<的一切都在K内即 [z< 时， 总有 I()-f(z)<,由积分的估值性质F(z + △z)-F(z)BFzSAzZ00G2:44:26

B z K z + z  0 z •  因为 ( ) , f z B 在 内解析 所以 ( ) , f z B 在 内连续 故 0, 0,       使得满足 ,    −  z K 的一切 都在 内 即 ,   z  时 总有 ( ) ( ) , f f z   −  由积分的估值性质, ( ) ( ) ( ) f z z F z z F z −  +  −

F(z +△z)- F(z)3+AzLf()- f(z)]dsAz.Nf(s)- f(z)lds≤8·Az= 8.AzF(z +△z)- F(z)于是limf(z)/= 0AzAz->0[证毕]即 F'(z)= f(z).此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似VG2:44:26

( ) ( ) ( ) f z z F z z F z −  +  − [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z −  =  + | ( ) ( )| d 1 f f z z z z z −    + . 1     =    z z 0 ( ) ( ) lim ( ) 0, z F z z F z f z  → z +  − − =  于是 即 ( ) ( ). F z f z  = 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. [证毕]

2.原函数的定义：如果函数 β(z) 在区域 B 内的导数为f(z),即 β'(z)= f(z), 那末称 β(z)为f(z)在区域 B 内的原函数显然 F(z)= (~f(S)d 是 f(z)的一个原函数原函数之间的关系：f(z)的任何两个原函数相差一个常数证设 G(z) 和H(z) 是f(z)的任何两个原函数0G2:44:26

2. 原函数的定义: ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) . z B f z z f z z f z B     = 如果函数 在区域 内的导数为 即 那末称 为 在区域 内 的原函数 0 ( ) ( )d ( ) . z z F z f f z =   显然  是 的一个原函数 原函数之间的关系: f z( ) . 的任何两个原函数相差一个常数 证 设 ( ) ( ) ( ) , G z H z f z 和 是 的任何两个原函数

[G(z) - H(z)] = G'(z) - H'(z)那末= f(z)- f(z)= 0[证毕]于是 G(z)-H(z)=c. (c 为任意常数)根据以上讨论可知：如果,f(z) 在区域 B 内有一个原函数 F(z),那末它就有无穷多个原函数一般表达式为F(z)+c(c为任意常数)VG2:44:26

( ) ( ) ( ) ( ) G z H z G z H z   那末 − = −   = f (z) − f (z)  0 于是 ( ) ( ) . G z H z c − = ( ) c 为任意常数 如果 ( ) ( ), f z B F z 在区域 内有一个原函数 那末它就有无穷多个原函数, 一般表达式为F z c c ( ) ( ). + 为任意常数 根据以上讨论可知: [证毕]

3. 不定积分的定义：称f(z) 的原函数的一般表达式 F(z)+ C(c为任意常数)为f(z)的不定积分,记作J f(z)dz = F(z) + c.定理三（类似于牛顿-莱布尼兹公式）如果函数,f(z)在单连通域B 内处处解析G(z)为f(z)的一个原函数,那末[" f(z)dz = G(z)-G(zo)这里 zo,Z 为域B 内的两点VG2:44:26

3. 不定积分的定义: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )d ( ) . f z F z c c f z f z z F z c + = +  称 的原函数的一般表达式 为任意常数 为 的不定积分 记作 定理三 1 0 1 0 0 1 ( ) , ( ) ( ) , ( )d ( ) ( ) , . z z f z B G z f z f z z G z G z z z B = −  如果函数 在单连通域 内处处解析 为 的一个原函数 那末 这里 为域 内的两点 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)