《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）复变函数习题全解

复数与复变函数第一章生命，那是自然付给人类去雕球的宝石，诺贝尔&导复变函数就是自变量为复数的函效，本课程研究的主要对象悬在某种意义之下可导的复变函数，通常称为解析函数，为建立这种解析函数的理论基础，在这一章中，首先引人复数的代数运算及其多种表示法：其次介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性等概念，这些概念及性质与一元或二元数积分中相应摄念及性质在形式上几手完全相同，但本质上却有很大差别，虚当待别给以关注。每学一个概念、定理，均要与高等数学中相应部分进行对照，尤其要记住差别。(e）=α(r.y）+十iw(.y）是联系高等数学与复变函数的重要格染，全书许多定理的表速或证明均频借助于a（.y)（+y)复变函效理论体系的构建，以高等数学为参照系，并借用了其中的结论，回过头来，对其中的一些辣手的高等数学间题能轻面易举地加以解决，例如，用留数计算广义积分等，同时，复变函数向应用领域的延件电是独特的

4.线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）福第一章复数与复变函数.5本章知识结构V345≥/ = sarg(2) maretan(2概念(3) (3 + 42(2 - 5D) 4± 32(2 ~ 51) --13i-2代数选算m()=-13#=号+13Re(z) .1几何表示26le1号/291ar4=arctan(号）年2泉聚与方根(4)1-4m+i=1-4+1-1-3复数与Re(=)=1;Im()=-312-1+3it(e/=V10复变函数区城args=—aretan3定义2.当*等于什么实数时。等式+1$—3）1+（成立15+3复支函数映射由=+1±16-3)=1+i可得解5+3i械限( + 1) +i(y 3) = 2 + 8i连续性[+1=2[r-]因此时等式成立，y-3-81y=13.证明虚单位1有这样的性质：—11-习题全解1zFs-i-i证明is：因此—-1.求下列复数：的实部与虚部，共钜复效，模与辐角主值。-4.证明：(2) +-_3(1)3+21(1) /- =-:(2)士1-(3) (3 + 40)(2 - 5i)28+0(4)4+i(4)(3(3)2=22i23-2i3十80+28-0号+（）解(1)(5)2-8,lm(z)---号+号1( +e),Im(0) =Re(z)-(6) Re(=) =(2~2)13证明（1)由+yi.得iarg*——arctan(号)1= =V13I r + y1-2-号+()3i(2)↓（+y(=yi)=+y等式成立2(2)设+i.=+i则Re(a）号m(a)号号+号左式±+±(+)

第一章复数与复变西数:7..6.线性代数·复变西数·核率统计习冠全解（中册）7.判定下列命题的真假：士+(（2）若为纯虚数，则牛三(1）若为实常数，则c一c=(±)(±i（4）零的辐角是零(3)i<21)右式=±=（+±（+)（5》仅存在一个数，使得！()±()=-2=±±(6)+=21+(7)=等式成立，解（1）真合题，因为实数作为复数，其虚部为零，所以若为实数，则必(3)设+y=+i则有i=,)(+(2）真命题.若z为纯虚数，不妨设=iyy≠0，=一iy.由于y手0.=)(+所以iy≠一iy.即#≠s，(()（3）假争题，因为实数集外的复数不能比较大小，()(+y)i（4》假命题，因为复数0的辐角可以是任意的，1等式成立。t（5）假命题，若」(4)设+=+则=-z设--r+iy.则3+11z-iyr-iy27++r+yr+iy(+)()IF+y=-r+yJz=o-X=±1--3=+xZ2+y等式成立。两个复致=1#=—1均满足三一，不止一个。(5)设=十3则-iEar+yint（6）假命题举反例，令2=i2:--1.期3:+2=0面121+22(6)设+则=-=2,此时12+±121+[2:1号(+2)=+(- +++) +-Re(d)[+1=1+1不恒成立，（7）真合题，证明：设产#本十iy，则1+yi-r+yi)-ymIm()4Emriy5.对任何，=是否成立？如果是，就给出证明，如果不是，对哪些--i--i-y)=-y-i2值才成立？答不成立，例如=2=户=一1.而1，-i+y)--y+ix--y-ix只有为实数时，等式=才成立，$+-E.6.当≤1时，求十的最大值其中为正整数a为复数8.将下列复数化为三角表示式和指数表示式#+a+la≤+al故1+a1为所求

感第一章复数与复变函数·9..8:线性代数复变函数·概率统计习题全解（中册）=zcosayisineI()i;(2) -1(3）旋转公式：yzisina+yicosa(3)1+/3:(4)1—cosp+isinp(0≤9≤)设=+y,z=+yi(5)-4(s)）(con59+ isins2)则(z,cosa ,sine) +i(x,sine + y,cosa)(cos3pisin3p)= cosa(x; + iy) + (+iz,)sinat解(1)因为r==1.arg()=·所以2= (cose)t, + i(sine)z)++i号 z, (cosa + isina)i=cos的三角形式为= 2,e-1-0的指数形式为10.一个复数乘以一i，它的模与辐角有何改变？(2)由=1-=1.arg(-1)-,知答设复数为*，则(一1)=。r=n（年),因此,模不变，1cost+isinn验角或小号：1 =e"f11.证明：3+1+-=2（1+3）并说明其几何意(3)因为r=/+（V）=2arg(1+1V3）号所以义,1+iV3=21证明左=(+)(+)+()(-)1+1/-2cs号+Bin号）=( +*)(2, +,) +( )(E)1=++++(4)1-cosp+ising(0≤9<m) +1号[o（号号)+1sin(（号号2in 号-—=2sin-=2+=右几何意义：平行阅边形两条对角线的平方和等于平行四边形相邻周边平-+V[(-)+igin(]2e-(5)方和的两倍。(esny(cos5g+isin5)(6)=elw=cos19p+isin19p12.证明下列间题：e-aryi(cos3p-isin3p))P(s)9.将下列坐标变换公式写成复数的形式：可以化为X+iY的形式，其中X与(1）任何有理分式函数R（=）Q(=)[r-+a,Y为具有实系数的与y的有理分式数；（1）平移公式y=y+b-（2）如采R（z）为（1）中的有理分式函数·但具有实系数，那么R(=）=Ijcosaysina（2)旅转公式X-iY:y=r,sina+yicosa（3）如果复数+是实系数方程[2=+a,（1）平移公式a+a+.+a-+a,-0y=y+b的根，那么4一动也是它的根。=+y(r+a)+y+bi证明(1)令=r(cosz+isinr)=(r+yi)+(a,+bi)=+A(其中A=a+b,)

.10.线性代数·复变活数·概率统计习题全解（中蛋）.11.念第一章复数与发变通数福P()=a+a++a,14.求下列各式的值：Q()=br+b-+m+b(a.b,ER)3(2)(1+D(4)(1-1)-P()P)QO)则R(t) =（(2[(+())tEQ(z)1Q()1*面州P)Q)-C+C+.+C,+C.+..+C..a=2×(--)=C(cosnr+isinnz)++C..a[eos(-mr)+isin(mr)]=-163-16[C,r.cosnz++Ca..cos(mr)] +(2)（1+）[2(+in号）8(co号+in号）[Cr'sinnr++C..ar"sin(mz)i=8i4X -(p[Creom ++ Ceos(mr)(3)1 (eost + isinx)+YmQ()p[Csinur ++C.rsin(mr)tcos2+sin+24#m0.1.2.3.4.5期R() =X+ Yi#+，-，--+PaPG)Q(z)2221(2) R(=) =由上面所证，类款可得Q(e)TQ(=)上号w, --，#--，#-PGQ(t)22=X-Yi1()(4) (V[(-)+(-)(3)R()-a+a++a+a设当：a+边时.R）0=R()-0弄+ 2kx元+2k时W2+=0.1.2+isincos已知."，为实数，于是33R()=a,()+"+a-+a,=o2(cs()+()2(00）-12因此。一i也是它的根。=V2(+n)13.如果=e，证明，w(+-)((Dr+)15t + isin -2eosnt;(2) -=2isinnt122'15.若（1+iy=（1—i试求的值。证明由=e=cost+isint由1+iy=(1-可得11)+ (cost+ isint)+ (cosw+in)2*2(+in）-2(+in）cosmt+isinut+cosnt-isinnt2cosnt(2) 2 1 + 2k一m 4sin sin二-=(cosut+isinut)(cosnt + isinnt)N44I= cosst +isinntcosut +isinnt =2isinnt(=0.±1.±2.*)

:12.战性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）· 13 :第一章复数与复变函数16.（1）求方程己+8=0的所有根；+--++（2）求微分方程"+8y=0的一般解。解（1)由=十8=0.得.222-32--V-8↓·+结果如图1-1所示又 8 = 8e"18.已知两点与（或已知三点2-t传-V-8-2e(n=0,1.2)2)，向下列各点位于何处？散n=0.得2=23=1+/3i-.--(1) =(z+2)取=1.得-2e-2,图 1-1(2)=，+（1-)z(其中为实数)取n2得2=2e=1-V3.(a, + + ,)(3)z=3方程+8=0的三个根分别为：1+31，—2.1-31解（1)2=（十2)：位于2与2连线中点上（(2）微分方程y十8y=0的特征方程为2z—zlr+8=0(2) ) +(1 )2: =位于连线上2,2:1]由（1）的结果可知方程产十8=0有三个互异的根：(3)2=2+2+）位于三角形22+重心1+3i.-2.1-V3i19.设2.22三点适合条件3十2+=0.2-1方程"十8y=0有三个线性无关的特解：证明：3，%，是内接于单位2-1的一个正三角形的项点，y=e+Tecou3+isin32)证明因为2++=0J=e-l所以2, =- (3 +22)=ea-T=e(cos3-iin3x)2, =- (21 + 22)[22,2,(1 +2,)(+22)于是原方程三个线性无关的实数特解为：e'cos3a,e'sinV3工，e-t从m[8,[2+1313+(22 +222)而原微分方程的一般解为因为12:1-[8,/-[81 -1y=cie-+e(ccos/3+esin3)所以(2/ 32 + 2)32) =- 1其中..为任意常数。[21 — 2:= (1 2)(e, -2)17.在平面上任意选一点，然后在复平面上面出下列各点的位置：= [+[2-(2, +22)*,++-1+1-(-1) =3解设2=1+i.则I=/3-z--1-i2/[213同理2-1-i,-2--1+i所以，为正三角形

.14.零第一章复数与复变西数.15战性代数复变函数·假率统计习题全解（中册）20. 如果复数 ,满足等式完二起一号二号,证明 3一1 ~T(10)arg(a-1)-以（0.）为起始点的y一=1的射线（>0）2-2142-2一21=：一，1.并说明这些等式的几何意义，22.措出下列不等式所确定的区域或阴区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：由252证明-222-2(1) Im()>0(2)z-11>4((2,2)) +(21-8,)-2)(3) 0 (10)-(2+i)z-(2-i)6498[2,2,1,-]解本题的解法，是将条件转化为直角坐标。3(1) Im(z)>0无界，单连通，不包括实轴的上半平面。故——，同理[——这几个式子表明无界，多连通。圆周（z—1）#+y=16的外部区城(2) z-1/>43，构成一个正三角形（不包括圆周）。21.指出下列各题中点的轨迹或所在范图，并作：无界，单连通，由直线0及z1所构成的带(3) 01无界，单连通，双曲线4—的圆左边分支的内部（含焦点=一2的那部分）区域。(7) Im(z)≤2y=2直线及其下方区域(10)22-(2+)z-(2-)=≤4有界，单连通，同（z一2)+（yz-3/5(8)直线工=-号及其左方区域+1)9及共内部区域，:(9)0<argz<R不包括实轴的上半平面部分图形如图1-2所示

第一章复数与复变函数-17.:16.线性代数·复交函数·概率统计习题全解（中每）23.证明复平面上的直线方程可写成：旺+=c，e*0为复常数c为实常致）证期设e=ah.a+y，a+a(+b)(r-yi)+(a-bi)+y)=ax-ayi+bri+by+ax+ayi-bri+by=2(ar+by)-c（这是直线方程，）以上每步均可例推，得证，24.证明复平面上的医的方程可写成u+++c=0.（其中为复常数c为实常数）证明设wx+yiema+bi.+++0r+y+a+b-y)+a-G+y)+e=o+y+ar-ayi+bn+by+ar+ai-bri+by+e=o++y+2(ax+by)+e-0+a)++b)-a+n-c（这是图的方程：）(S)(6)以上每步均可例推，得证。25.将下列方程（为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：51()(1+)(2)z=acost+ibsint.(ab为实常数）(3)2=+(4):-1+2(8)(5）zmacht+ibsht(ab为实常数）(6) =ae+be~(7)e(e=a+为复数）解1)设购r+y=+ie(10)围1-2(2)acost+ibsint设购

·18 .第一章复数与复变函数-19-规性代数·复变西数·概事统计习冠全解（中量）F=cosbt.e[r=acosty +yi =acost + ibsinrfaLy=bsintsinbtea(3）设=十期二=tanb（=（arctan之）/s+iy-t+1+yee(r=!一把下列：平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线？26.函数W=Hery-lpy-V(1)+=4(2)y=z(4)设+iy,则(4)(-)+y(3)z=1;(a=)解设平面上为=+iyw平面上点为r+iy=++.riew=a+bi=I-yi由a+bi=++-++#ry=1(r>0,y>0)由两复数相等的定义得(5)设2=十iy,则+iy=acht+ishyb-2+a=2+y2m achea(e'+e)(1)由十y=4.得2b(er-e"")+()-a+=y=bshi-+2yH表示;以(0.0)为圆心,以亡为半径的国。得=1(2)由y=.得（6）设=+iy.则?+iyae'+be-"62xacost+iasint+bcost-bisint表示直线：=(a+b)cost+i(a=b)sint（3)由2=1.得J?(a+6)costT11+6=y=(a-b)sint+=-1，a=22+-=表示以（0）为圆心，以为半径的图。(7)设+iy,则(4)由-1)+=1.得a+iy=e"(a=a+b为复数）+y-2mele+wwe".en表示一条直线。=e".(cosbt+isinbr)

·20.线性代数·复变函数·假率境计习感全解（中册）第一章复数与复变插数21-27.已知映射w2求：同理可证lim[/(）-g()]=A—B(1)点2,=i,z=1+,=,=3+i在w平面上的象，（2)因为limg(=）=B，所以38>0及M>0.使00.因为lim(）=A.所以38>0.使00,使00及M>0.使01Bl(2) lim[f(α) -g(e)] = AB;2V>0.因为limf(e)=A,limg()=B,所以38>0.使0038,>0,使00.使00.使0<<,时,有1g()=B<Be2Ig(e) - BI <2(AI + (BT)取8-min(8.8,)则当0<z2<8时.必有取=min(8,8,,8,)，则当0<-<8时，必有ILf()+g(z)I-(A+B))[- IB/(c)-Ag(e)f(=)2≤IF(=) -AI + Ig() -BI<2+eB1g()/- [BTg(z)2成立.故lim[f(z）+g(z)]=A+B≤JBI- I() -AL+ JAL: Ik() - BIIB/- Ig(2)I