《复变函数论》课程教学大纲 Theory of Functions of Complex Variable（含思政）

《复变函数论》教学大纲一、课程基本信息课程编码：0601112B中文名称：复变函数论英文名称：TheoryofFunctionsofComplexVariable课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何二、课程目标（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。【支撑毕业要求7、8】2.理解复数的表示方法。【支撑毕业要求3、7】3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。【支撑毕业要求3、7、8】4.掌握留数的计算和应用。支撑毕业要求3、7、85.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。【支撑毕业要求3、7、816.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。【支撑毕业要求3、7、8】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求指标点的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点3-1具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3-2了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学课程目标13.学科素养的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。3-3具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力

《复变函数论》教学大纲 一、课程基本信息 课程编码：0601112B 中文名称：复变函数论 英文名称：Theory of Functions of Complex Variable 课程类别：专业基础及核心课 总 学 时：48 总 学 分：3 适用专业：数学与应用数学 先修课程：数学分析，高等代数，解析几何 二、课程目标 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。【支撑毕业要求 7、8】 2.理解复数的表示方法。【支撑毕业要求 3、7】 3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。【支撑毕业要求 3、7、8】 4.掌握留数的计算和应用。【支撑毕业要求 3、7、8】 5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。【支撑 毕业要求 3、7、8】 6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和 解决实际问题的能力。【支撑毕业要求 3、7、8】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表 1 课程目标与毕业要求指标点的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 3-1 具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想 和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理 的认识。 3-2 了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学 的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 3-3 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等 数学学科专业能力

7-1具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。7.学科素养课程目标28-2具备与学校领导、同事、学生、家长等沟通交流的知识、8.沟通合作技能与经验。3-3理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。7-1具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和3.学科素养适应发展的能力。课程目标37.学会反思3-2了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。7-1具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。8-1具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小7.学会反思组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐课程目标48.沟通合作于分享经验和想法。8-2具备与学校领导、同事、学生、家长等沟通交流的知识、技能与经验。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法学时安排支撑的课程目标10第一章复变函数的基本概念学生自学、课堂讲投课程目标3、7、8第二章复积分9课堂讲授、专题研讨课程目标3、7、8第三章复级数理论课堂讲授、学生自学8课程目标3、7、80第四章留数理论课堂讲投、讨论研讨课程目标3、7、88第五章共性映射理论课堂讲授、图形变换课程目标3、7、8第六章解析延拓4课堂讲授、理论推演课程目标3合计48学时（二）具体内容第一章复变函数的基本概念（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：

课程目标 2 7.学科素养 8.沟通合作 7-1 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和 适应发展的能力。 8-2 具备与学校领导、同事、学生、家长等沟通交流的知识、 技能与经验。 课程目标 3 3.学科素养 7.学会反思 3-3 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的 数学学习指导方法与策略。 7-1 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和 适应发展的能力。 3-2 了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学 的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 课程目标 4 7.学会反思 8.沟通合作 7-1 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和 适应发展的能力。 8-1 具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小 组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐 于分享经验和想法。 8-2 具备与学校领导、同事、学生、家长等沟通交流的知识、 技能与经验。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表 2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 复变函数的基本概念 学生自学、课堂讲授 课程目标 3、7、8 10 第二章 复积分 课堂讲授、专题研讨 课程目标 3、7、8 9 第三章 复级数理论 课堂讲授、学生自学 课程目标 3、7、8 8 第四章 留数理论 课堂讲授、讨论研讨 课程目标 3、7、8 9 第五章 共性映射理论 课堂讲授、图形变换 课程目标 3、7、8 8 第六章 解析延拓 课堂讲授、理论推演 课程目标 3 4 合计 48 学时 （二）具体内容 第一章 复变函数的基本概念(10 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标：

了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题。会计算复数列的极限。掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。2、教学要求：理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。掌握初等函数连续性。理解复函数导数的定义，掌握复函数实部和虚部的导数定义，掌握导数的四则运算，掌握导数的复合函数运算，理解导数的反函数运算，理解初等函数的可导性，理解复变函数微分的定义，理解复变函数的可导、微分和连续的关系，理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。熟悉指数函数、三角函数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别，理解三类基本初等函数的映照性质。深刻理解解析函数定义，会用解析函数的条件判断函数的解析性。了解初等多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。掌握对数函数的计算和反三角函数的计算。【教学重点与难点】1、教学重点：复变函数的发展历史，复数的6种表示方法，代数形式的四则运算，三角形式的乘除运算和幂运算，开方运算。复数列极限的充要条件，复数列极限的计算，计算复变函数的极限。复变函数连续的充要条件，初等函数连续性。复函数的微分，复函数可微分的条件。初等解析函数，解析函数2、教学难点：复数的坐标表示和向量表示的运算，复数几何意义，复数乘除幂和开方的几何意义。复数列极限的定义，复变函数的分类，复变函数的极限，复变函数极限与实二元函数二重极限关系，连续性的定义，复变函数连续的性质。复函数可微分的条件。初等多值函数。【教学内容】1.1复数及其运算

了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。会用复数的 6 种表示方法 互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。会应用 复数乘除的几何意义证明一些几何问题。会计算复数列的极限。掌握复变函数极 限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。掌握柯西黎曼方程，理 解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。 2、教学要求： 理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘 除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。理解复数的几何表示和几何意义， 掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。理解复数极限的 定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域 和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理 解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。掌 握初等函数连续性。理解复函数导数的定义，掌握复函数实部和虚部的导数定义， 掌握导数的四则运算，掌握导数的复合函数运算，理解导数的反函数运算，理解 初等函数的可导性，理解复变函数微分的定义，理解复变函数的可导、微分和连 续的关系，理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。熟悉指数函数、三角函 数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别，理解三类基本初等函数的映照性 质。深刻理解解析函数定义，会用解析函数的条件判断函数的解析性。了解初等 多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。掌握对数函数的计算和反 三角函数的计算。 【教学重点与难点】 1、教学重点：复变函数的发展历史，复数的 6 种表示方法，代数形式的 四则运算，三角形式的乘除运算和幂运算，开方运算。复数列极限的充要条件， 复数列极限的计算，计算复变函数的极限。复变函数连续的充要条件，初等函数 连续性。复函数的微分，复函数可微分的条件。初等解析函数，解析函数. 2、教学难点：复数的坐标表示和向量表示的运算，复数几何意义，复数 乘除幂和开方的几何意义。复数列极限的定义，复变函数的分类，复变函数的极 限，复变函数极限与实二元函数二重极限关系，连续性的定义，复变函数连续的 性质。复函数可微分的条件。初等多值函数。 【教学内容】 1.1 复数及其运算

1.2复变函数的极限与连续1.3复变函数的导数与微分1.4解析函数【思政元素融入点】了解课程内容涉及到的数学家，缅怀已故的复变函数专家学者们，学习他们给我们开创的新的丰饶的数学领地，介绍复变函数发展的历史进程，讲解复变函数的国内外发展现状，将周易理论的复卦引入课堂教学，说明复的意义和哲理，激发学习兴趣。同时将复变函数的应用领域用图形和表格方法展示出来，说明复变函数论是数学学科中最实用的分支之一。第二章复积分（9学时）【教学目标与要求】1、教学目标：灵活运用复函数积分的基本性质，理解复变函数的估值性质。熟练掌握柯西积分定理，并能灵活应用，掌握柯西积分定理的推广形式，掌握不定积分和原函数的性质。会求拉普拉斯方程的复变函数解法。了解复数边界积分方程的一般理论。会用解析函数实部和虚部表示向量函数，会用解析函数表示静电场中的电场线和等势线。2、教学要求：理解并掌握复变函数积分的概念，掌握复变函数和实二元函数在曲线上积分的关系。熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。灵活运用柯西积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握柯西不等式与刘维尔定理，掌握代数学基本定理，掌握摩勒拉定理。理解并掌握调和函数的定义和性质，了解调和函数的应用。理解并掌握拉普拉斯方程定义，了解拉普拉斯方程的应用。理解并掌握复势的定义，熟悉平面向量场的解析函数表示法。熟练掌握流体中各种场的解析函数表示。理解并掌握电场中的复势理论。【教学重点与难点】1、教学重点：复变函数积分的计算，复变函数积分的性质。柯西积分定理，柯西积分公式及其推论。调和函数的概念及其性质，调和函数与解析函数的关系。复变函数表示复势。2、教学难点：复变函数积分的概念。柯西积分定理的推广。柯西不等式

1.2 复变函数的极限与连续 1.3 复变函数的导数与微分 1.4 解析函数 【思政元素融入点】 了解课程内容涉及到的数学家，缅怀已故的复变函数专家学者们，学习他 们给我们开创的新的丰饶的数学领地，介绍复变函数发展的历史进程，讲解复变 函数的国内外发展现状，将周易理论的复卦引入课堂教学，说明复的意义和哲理， 激发学习兴趣。同时将复变函数的应用领域用图形和表格方法展示出来，说明复 变函数论是数学学科中最实用的分支之一。 第二章 复积分(9 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 灵活运用复函数积分的基本性质，理解复变函数的估值性质。熟练掌握柯 西积分定理，并能灵活应用，掌握柯西积分定理的推广形式，掌握不定积分和原 函数的性质。会求拉普拉斯方程的复变函数解法。了解复数边界积分方程的一般 理论。会用解析函数实部和虚部表示向量函数，会用解析函数表示静电场中的电 场线和等势线。 2、教学要求： 理解并掌握复变函数积分的概念，掌握复变函数和实二元函数在曲线上积 分的关系。熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。灵活运用柯西 积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握柯西不等式与刘维尔定理，掌 握代数学基本定理，掌握摩勒拉定理。理解并掌握调和函数的定义和性质，了解 调和函数的应用。理解并掌握拉普拉斯方程定义，了解拉普拉斯方程的应用。理 解并掌握复势的定义，熟悉平面向量场的解析函数表示法。熟练掌握流体中各种 场的解析函数表示。理解并掌握电场中的复势理论。 【教学重点与难点】 1、教学重点：复变函数积分的计算，复变函数积分的性质。柯西积分定 理，柯西积分公式及其推论。调和函数的概念及其性质，调和函数与解析函数的 关系。复变函数表示复势。 2、教学难点：复变函数积分的概念。柯西积分定理的推广。柯西不等式

与刘维尔定理、代数学基本定理，摩勒拉定理。拉普拉斯方程的解答，复数边界积分方程。流体中的复势应用，静电场中的复势应用。【教学内容】2.1复积分的定义2.2柯西积分定理与柯西积分公式2.3解析函数和调和函数关系2.4复势理论及其应用【思政元素融入点】学习复积分知识，掌握封闭曲线上积分的计算方法，理解各个数学学科之间的相互联系，解析函数和调和函数的关系及其应用，让学生掌握普遍联系的思想和实践是学习最终目的的思想，课堂上结合实例让学生知道实践认识实践的过程，大道至简的哲学思想，任何事物的认识都从简单到复杂，然后再从复杂到简单的过程，只有复杂的理论，不能回归到简单是无用的复杂。第三章复级数理论（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：掌握复数项级数绝对收敛和条件收敛，掌握复数项级数收敛的性质，会计算复数项级数的求和，掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法，理解内闭一致收敛定义。掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展式。明确解析函数零点的孤立性，会判断解析函数零点的阶数，会证明解析函数恒为零的命题，会用反证法和最大模原理证明复变函数命题。会求解析函数的洛朗展式。切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质。会判断无穷远点孤立奇点类型。2、教学要求：理解复数项级数定义和复数项级数的收敛定义，理解复数项级数和实数项级数的关系。理解复函数项级数定义，和函数定义，理解复函数项级数收敛和一致收敛的定义，掌握解析函数可导性质。掌握幂级数的收敛半径求法及其性质，判断幂级数和函数的解析性。掌握解析函数唯一性定理，会应用解析函数唯一性定理及其推论，了解解析函数局部和整体关系的分析，理解最大模原理，会用最大模原理证明解析函数恒为常数，了解最大模原理与实函数最大值的关系。理解

与刘维尔定理、代数学基本定理，摩勒拉定理。拉普拉斯方程的解答，复数边界 积分方程。流体中的复势应用，静电场中的复势应用。 【教学内容】 2.1 复积分的定义 2.2 柯西积分定理与柯西积分公式 2.3 解析函数和调和函数关系 2.4 复势理论及其应用 【思政元素融入点】 学习复积分知识，掌握封闭曲线上积分的计算方法，理解各个数学学科之 间的相互联系，解析函数和调和函数的关系及其应用，让学生掌握普遍联系的思 想和实践是学习最终目的的思想，课堂上结合实例让学生知道实践认识实践的过 程，大道至简的哲学思想，任何事物的认识都从简单到复杂，然后再从复杂到简 单的过程，只有复杂的理论，不能回归到简单是无用的复杂。 第三章 复级数理论(8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 掌握复数项级数绝对收敛和条件收敛，掌握复数项级数收敛的性质，会计 算复数项级数的求和，掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别 法，理解内闭一致收敛定义。掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展 式。明确解析函数零点的孤立性，会判断解析函数零点的阶数，会证明解析函数 恒为零的命题，会用反证法和最大模原理证明复变函数命题。会求解析函数的洛 朗展式。切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质。会判断无穷远点孤 立奇点类型。 2、教学要求： 理解复数项级数定义和复数项级数的收敛定义，理解复数项级数和实数项 级数的关系。理解复函数项级数定义，和函数定义，理解复函数项级数收敛和一 致收敛的定义，掌握解析函数可导性质。掌握幂级数的收敛半径求法及其性质， 判断幂级数和函数的解析性。掌握解析函数唯一性定理，会应用解析函数唯一性 定理及其推论，了解解析函数局部和整体关系的分析，理解最大模原理，会用最 大模原理证明解析函数恒为常数，了解最大模原理与实函数最大值的关系。理解

洛朗展式和泰勒展式的关系。了解皮卡（Picard）定理。了解解析函数在无穷远点的性质，了解整函数与亚纯函数的概念及其性质。【教学重点与难点】1、教学重点：解析函数项级数的导数性质。幂级数和的解析性判断。解析函数零点的孤立性，解析函数唯一性定理。解析函数的洛朗展式。可去奇点、极点、本性奇点。解析函数在无穷远点的性质。2、教学难点：复函数项级数收敛和一致收敛的定义。幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒展式。最大模原理。洛朗级数与泰勒级数的关系。施瓦茨（Schwarz）引理、皮卡（Picard）定理。整函数、亚纯函数。【学习内容】3.1复数项级数和复函数项级数3.2幂级数3.3解析函数的唯一性定理和零点孤立性（含最大模原理）3.4洛朗级数3.5孤立奇点3.6整函数和亚纯函数【思政元素融入点】级数内容是解析函数的一个重要内容，它是从数学分析的实函数级数推广过来的，在这部分内容中，培养学生实和复的多重转换思维，培养学生将相互转化和联系的思维策略，局部和整体之间的关系，认清形式，智周万物而不殆，曲成万物而不遗。达到德合天地，变通无方，明并日月，化形若神的新境界。第四章孤立奇点留数的定义与计算（9学时）【教学目标与要求】1、教学目标：掌握留数定理及其留数求法。会用用留数定理计算实积分，掌握儒歇定理。2、教学要求：掌握留数定理及其留数求法，理解无穷远点留数和有限点留数的关系，理解留数和复变函数积分的关系。了解积分路径上有奇点的积分和应用多值函数的积分，理解辐角原理

洛朗展式和泰勒展式的关系。了解皮卡（Picard）定理。了解解析函数在无穷远 点的性质，了解整函数与亚纯函数的概念及其性质。 【教学重点与难点】 1、教学重点：解析函数项级数的导数性质。幂级数和的解析性判断。解析 函数零点的孤立性，解析函数唯一性定理。解析函数的洛朗展式。可去奇点、极 点、本性奇点。解析函数在无穷远点的性质。 2、教学难点：复函数项级数收敛和一致收敛的定义。幂级数的和函数在 其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒展式。最大模原理。洛朗级数与泰勒 级数的关系。施瓦茨（Schwarz）引理、皮卡（Picard）定理。整函数、亚纯函 数。 【学习内容】 3.1 复数项级数和复函数项级数 3.2 幂级数 3.3 解析函数的唯一性定理和零点孤立性(含最大模原理) 3.4 洛朗级数 3.5 孤立奇点 3.6 整函数和亚纯函数 【思政元素融入点】 级数内容是解析函数的一个重要内容，它是从数学分析的实函数级数推广 过来的，在这部分内容中，培养学生实和复的多重转换思维，培养学生将相互转 化和联系的思维策略，局部和整体之间的关系，认清形式，智周万物而不殆，曲 成万物而不遗。达到德合天地，变通无方，明并日月，化形若神的新境界。 第四章 孤立奇点留数的定义与计算(9 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 掌握留数定理及其留数求法。会用用留数定理计算实积分，掌握儒歇定理。 2、教学要求： 掌握留数定理及其留数求法，理解无穷远点留数和有限点留数的关系，理 解留数和复变函数积分的关系。了解积分路径上有奇点的积分和应用多值函数的 积分，理解辐角原理

【教学重点与难点】1、教学重点：留数的定义及留数定理、留数的求法。用留数定理计算实积分。2、教学难点：留数的求法、无穷远点的留数。对数留数、辐角原理、儒歇定理。【教学内容】4.1留数及其计算4.2留数计算实积分4.3辐角原理【思政元素融入点】烛残漏断频款枕，起坐不能平，以此开启留数理论的内容，分类方法在这一章中比较重要，要求学生掌握孤立奇点留数计算的分类，灵活应用各种方法计算留数，密切注意无穷点留数和有限点留数的关系，正是：传与诸山诗酒客，休将有限恨无穷。难点是计算实积分和辐角原理，教学中采用各种哲学和思维方式，让学生深刻认识复变函数计算中的很多人生哲理和思想理论方法。第五章共性映射（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义。会应用分式线性变换。掌握某些初等函数所构成的共形映射。2、教学要求：掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义，明确共形映射的概念。了解黎曼存在定理和边界对应定理。掌握分式线性变换及其性质。深刻理解某些初等函数所构成的共形映射。【教学重点与难点】1、学习重点：解析变换的保域性、解析变换的保角性---导数的几何意义、单叶解析变换的共形性。分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。幂函数与根式函数、指数函数与对数函数。2、教学难点：黎曼存在定理、边界对应定理。分式线性变换应用。由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域

【教学重点与难点】 1、教学重点：留数的定义及留数定理、留数的求法。用留数定理计算实 积分。 2、教学难点：留数的求法、无穷远点的留数。对数留数、辐角原理、儒 歇定理。 【教学内容】 4.1 留数及其计算 4.2 留数计算实积分 4.3 辐角原理 【思政元素融入点】 烛残漏断频欹枕，起坐不能平，以此开启留数理论的内容，分类方法在这 一章中比较重要，要求学生掌握孤立奇点留数计算的分类，灵活应用各种方法计 算留数，密切注意无穷点留数和有限点留数的关系，正是：传与诸山诗酒客，休 将有限恨无穷。难点是计算实积分和辐角原理，教学中采用各种哲学和思维方式， 让学生深刻认识复变函数计算中的很多人生哲理和思想理论方法。 第五章 共性映射（8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义。会应用分式线性变换。 掌握某些初等函数所构成的共形映射。 2、教学要求： 掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义，明确共形映射的概念。 了解黎曼存在定理和边界对应定理。掌握分式线性变换及其性质。深刻理解某些 初等函数所构成的共形映射。 【教学重点与难点】 1、学习重点：解析变换的保域性、解析变换的保角性-导数的几何意义、 单叶解析变换的共形性。分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。幂 函数与根式函数、指数函数与对数函数。 2、教学难点：黎曼存在定理、边界对应定理。分式线性变换应用。由圆 弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域

【教学内容】5.1共形映射5.2分式线性变换5.3初等函数共形映射的综合应用【思政元素融入点】这部分内容是图形转化关系，解析函数的几何意义，数形结合方法是引起学生兴趣的关键，因此我们将共形映射问题转化为数形结合的方式进行教学，培养学生仔细观察的能力，观察的同时想到解析函数的表达，综合应用中，将热传导和电场计算转化为共形映射问题，教会学生结合图形来分析解决问题的思路，达到炼金成器破旧立新思想政治教育目的。第六章解析延拓（4学时）【教学目标与要求】1、学习目标：认识透弧解析延拓。2、教学要求：了解解析开拓的概念和一般原理。了解对称原理。了解完全解析函数及黎曼面的概念。【教学重点与难点】1、教学重点：解析延拓的幂级数方法。2、教学难点：透弧直接解析延拓、黎曼一一施瓦茨对称原理。【教学内容】6.1解析延拓的概念与幂级数延拓6.2透弧解析延拓、对称原理6.3完全解析函数及黎曼面的概念【思政元素融入点】这一章是解析函数延拓，将小区域的解析函数延拓到更大区域上的解析函数，拓宽思路，开创新局面，任何事物开始都是弱小的，只有经过雷电交加，才能成为声威壮大之象，教育学生思想政治上由弱到强，由小范围到大区域的政治哲学过程

【教学内容】 5.1 共形映射 5.2 分式线性变换 5.3 初等函数共形映射的综合应用 【思政元素融入点】 这部分内容是图形转化关系，解析函数的几何意义，数形结合方法是引起 学生兴趣的关键，因此我们将共形映射问题转化为数形结合的方式进行教学，培 养学生仔细观察的能力，观察的同时想到解析函数的表达，综合应用中，将热传 导和电场计算转化为共形映射问题，教会学生结合图形来分析解决问题的思路， 达到炼金成器破旧立新思想政治教育目的。 第六章 解析延拓(4 学时） 【教学目标与要求】 1、学习目标： 认识透弧解析延拓。 2、教学要求： 了解解析开拓的概念和一般原理。了解对称原理。了解完全解析函数及黎 曼面的概念。 【教学重点与难点】 1、教学重点：解析延拓的幂级数方法。 2、教学难点：透弧直接解析延拓、黎曼-施瓦茨对称原理。 【教学内容】 6.1 解析延拓的概念与幂级数延拓 6.2 透弧解析延拓、对称原理 6.3 完全解析函数及黎曼面的概念 【思政元素融入点】 这一章是解析函数延拓，将小区域的解析函数延拓到更大区域上的解析函 数，拓宽思路，开创新局面，任何事物开始都是弱小的，只有经过雷电交加，才 能成为声威壮大之象，教育学生思想政治上由弱到强，由小范围到大区域的政治 哲学过程

四、教学方法1、授课：以课堂讲授为主，采取板书配以多媒体的方式。适当采取研讨案例方法。2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。3、作业：每次课后配以一定量的书面作业（含习题作业和培养目标要求作业），按学院统一要求每周批改一次。4、辅导：每周进行答疑辅导。5、根据我院学生特点，突出学生的主体性，以课堂教学与多媒体教学为主，自学为辅。理论教学为主，自学实践和创新作业为辅。五、课程考核方式与成绩评定1、建议使用的考核方法：闭卷。成绩评定综合考虑多种考核方式，平时成绩为（30%）为：作业、考勤、能力考核、小论文设计作业、创新作业等多种形式选择3-4种进行计算平均分（百分制）。期末考试成绩：按考试成绩结果百分制计算，占70%。2、综合成绩=平时成绩（30%）+期末考试成绩（70%）。六、课程评价（一）课程目标评价标准评价标准课程目标90-100分80-89分70-79分60-69分0-59分良中优及格不及格1.很好地掌1.较好地掌1. 掌握复变1. 基本掌握1.不能掌握握复变函数握复变函数函数的积分、复变函数的复变函数的的积分、级的积分、级级数、留数、积分、级数、积分、级数、数、留数、共数、留数、共共形映射基留数、共形映留数、共形映形映射基本形映射基本本方法和思射基本方法射基本方法方法和思维方法和思维维精髓，具有和思维精髓，和思维精髓，课程目标1精髓，具有很精髓，具有较基本的实践具有实践应不具有的实好的实践应应用能力；用能力；践应用能力；好的实践应用能力；用能力；2.具有专业2. 基本具有2.不完全具2.具有丰富2.具有较好素养和很强专业素养和有专业素养的专业素养的专业素养的逻辑思维很强的逻辑和很强的逻和很强的逻和很强的逻能力；思维能力；辑思维能力；辑思维能力：辑思维能力：3.具备的学

四、教学方法 1、授课：以课堂讲授为主,采取板书配以多媒体的方式。适当采取研讨案 例方法。 2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相 结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。 3、作业：每次课后配以一定量的书面作业（含习题作业和培养目标要求作 业），按学院统一要求每周批改一次。 4、辅导：每周进行答疑辅导。 5、根据我院学生特点,突出学生的主体性，以课堂教学与多媒体教学为主， 自学为辅。理论教学为主，自学实践和创新作业为辅。 五、课程考核方式与成绩评定 1、建议使用的考核方法：闭卷。成绩评定综合考虑多种考核方式，平时成 绩为（30%）为：作业、考勤、能力考核、小论文设计作业、创新作业等多种形 式选择 3-4 种进行计算平均分（百分制）。期末考试成绩：按考试成绩结果百分 制计算，占 70%。 2、综合成绩=平时成绩（30%）+期末考试成绩（70%）。 六、课程评价 （一）课程目标评价标准 课程目标 评价标准 90-100 分 80-89 分 70-79 分 60-69 分 0-59 分 优 良 中 及格 不及格 课程目标 1 1. 很 好 地 掌 握 复 变 函 数 的 积 分 、 级 数、留数、共 形 映 射 基 本 方 法 和 思 维 精髓，具有很 好 的 实 践 应 用能力； 2. 具 有 丰 富 的 专 业 素 养 和 很 强 的 逻 辑思维能力； 1. 较 好 地 掌 握 复 变 函 数 的 积 分 、 级 数、留数、共 形 映 射 基 本 方 法 和 思 维 精髓，具有较 好 的 实 践 应 用能力； 2. 具 有 较 好 的 专 业 素 养 和 很 强 的 逻 辑思维能力； 1. 掌 握 复 变 函数的积分、 级数、留数、 共 形 映 射 基 本 方 法 和 思 维精髓，具有 基 本 的 实 践 应用能力； 2. 具 有 专 业 素 养 和 很 强 的 逻 辑 思 维 能力； 3. 具 备 的 学 1. 基 本 掌 握 复 变 函 数 的 积分、级数、 留数、共形映 射 基 本 方 法 和思维精髓， 具 有 实 践 应 用能力； 2. 基 本 具 有 专 业 素 养 和 很 强 的 逻 辑 思维能力； 1. 不 能 掌 握 复 变 函 数 的 积分、级数、 留数、共形映 射 基 本 方 法 和思维精髓， 不 具 有 的 实 践应用能力； 2. 不 完 全 具 有 专 业 素 养 和 很 强 的 逻 辑思维能力；

3.不完全具3.具备很好3.具备较好科素养和专3.基本具备的学科素养的学科素养业知识，将所的学科素养备的学科素和专业知识，和专业知识，学知识很好和专业知识，养和专业知将所学知识将所学知识的结合其他将所学知识识，将所学知应用领域。很好的结合很好的结合很好的结合识很好的结其他应用领其他应用领其他应用领合其他应用域。域。域。领域。1.不能完全1.很好地掌1.较好地掌1.能够掌握1.基本掌握握留数理论握留数理论留数理论的留数理论的掌握留数理的思维方法、的思维方法、思维方法、计思维方法、计论的思维方法、计算方计算方法；计算方法：算方法；算方法；法;2.具备很好2.具备较好2.具备整体2.基本具备全局和局部整体和部分和部分关系整体和部分2.不完全具关系的认知关系的认知关系的认知的认知能力，备整体和部能力，深刻体能力，基本体分关系的认能力，体会到体会到班级会到班级管班级管理的管理的以人会到班级管知能力，不能课程目标2理的以人为以人为本思理的以人为为本思维；体会到班级本思维；维；3. 领会复变本思维：管理的以人3.深刻理解3.能够领会函数学科渗3.基本领会为本思维；复变函数学复变函数学透到班级指复变函数学3.不能完全科渗透到班科渗透到班导中的处理科渗透到班领会复变函级指导中的级指导中的整体和局部级指导中的数学科渗透处理整体和处理整体和关系能力。能力。到班级指导局部关系能局部关系能能力。力。力。1.很好地掌1.较好地掌1.掌握复积1.基本掌握1.不能掌握握复积分、复握复积分、复分、复级数和复积分、复级复积分、复级共形映射的数和共形映级数和共形级数和共形数和共形映映射的思维映射的思维思维方法、计射的思维方射的思维方方法、计算方方法、计算方算方法；具备法、计算方法、计算方法；具备很好法；具备较好抽象概括能法；基本具备法：不完全具课程目标3的抽象概括的抽象概括力、逻辑推理抽象概括能备抽象概括能力、逻辑推能力、逻辑推能力：力、逻辑推理能力、逻辑推理能力；理能力；2.具备自我能力；理能力；2.具备很好2.具备较好反思能力和2.基本具备2.不完全具的自我反思的自我反思创新意识；自我反思能备自我反思能力和创新能力和创新具备很好的力和创新意能力和创新意识：意识：意识：3.具备将数识；

3. 具 备 很 好 的 学 科 素 养 和专业知识， 将 所 学 知 识 很 好 的 结 合 其 他 应 用 领 域。 3. 具 备 较 好 的 学 科 素 养 和专业知识， 将 所 学 知 识 很 好 的 结 合 其 他 应 用 领 域。 科 素 养 和 专 业知识，将所 学 知 识 很 好 的 结 合 其 他 应用领域。 3. 基 本 具 备 的 学 科 素 养 和专业知识， 将 所 学 知 识 很 好 的 结 合 其 他 应 用 领 域。 3. 不 完 全 具 备 的 学 科 素 养 和 专 业 知 识，将所学知 识 很 好 的 结 合 其 他 应 用 领域。 课程目标 2 1. 很 好 地 掌 握 留 数 理 论 的思维方法、 计算方法； 2. 具 备 很 好 全 局 和 局 部 关 系 的 认 知 能力，深刻体 会 到 班 级 管 理 的 以 人 为 本思维； 3. 深 刻 理 解 复 变 函 数 学 科 渗 透 到 班 级 指 导 中 的 处 理 整 体 和 局 部 关 系 能 力。 1. 较 好 地 掌 握 留 数 理 论 的思维方法、 计算方法； 2. 具 备 较 好 整 体 和 部 分 关 系 的 认 知 能力，体会到 班 级 管 理 的 以 人 为 本 思 维； 3. 能 够 领 会 复 变 函 数 学 科 渗 透 到 班 级 指 导 中 的 处 理 整 体 和 局 部 关 系 能 力。 1. 能 够 掌 握 留 数 理 论 的 思维方法、计 算方法； 2. 具 备 整 体 和 部 分 关 系 的认知能力， 体 会 到 班 级 管 理 的 以 人 为本思维； 3. 领 会 复 变 函 数 学 科 渗 透 到 班 级 指 导 中 的 处 理 整 体 和 局 部 关系能力。 1. 基 本 掌 握 留 数 理 论 的 思维方法、计 算方法； 2. 基 本 具 备 整 体 和 部 分 关 系 的 认 知 能力，基本体 会 到 班 级 管 理 的 以 人 为 本思维； 3. 基 本 领 会 复 变 函 数 学 科 渗 透 到 班 级 指 导 中 的 能力。 1. 不 能 完 全 掌 握 留 数 理 论 的 思 维 方 法 、 计 算 方 法； 2. 不 完 全 具 备 整 体 和 部 分 关 系 的 认 知能力，不能 体 会 到 班 级 管 理 的 以 人 为本思维； 3. 不 能 完 全 领 会 复 变 函 数 学 科 渗 透 到 班 级 指 导 能力。 课程目标 3 1. 很 好 地 掌 握复积分、复 级 数 和 共 形 映 射 的 思 维 方法、计算方 法；具备很好 的 抽 象 概 括 能力、逻辑推 理能力； 2. 具 备 很 好 的 自 我 反 思 能 力 和 创 新 意识； 1. 较 好 地 掌 握复积分、复 级 数 和 共 形 映 射 的 思 维 方法、计算方 法；具备较好 的 抽 象 概 括 能力、逻辑推 理能力； 2. 具 备 较 好 的 自 我 反 思 能 力 和 创 新 意识； 1. 掌 握 复 积 分、复级数和 共 形 映 射 的 思维方法、计 算方法；具备 抽 象 概 括 能 力、逻辑推理 能力； 2. 具 备 自 我 反 思 能 力 和 创新意识； 具 备 很 好 的 3. 具 备 将 数 1. 基 本 掌 握 复积分、复级 数 和 共 形 映 射 的 思 维 方 法 、 计 算 方 法；基本具备 抽 象 概 括 能 力、逻辑推理 能力； 2. 基 本 具 备 自 我 反 思 能 力 和 创 新 意 识； 1. 不 能 掌 握 复积分、复级 数 和 共 形 映 射 的 思 维 方 法 、 计 算 方 法；不完全具 备 抽 象 概 括 能力、逻辑推 理能力； 2. 不 完 全 具 备 自 我 反 思 能 力 和 创 新 意识；