《复变函数论》课程教学课件（讲义）围魏救赵策略在复变函数中的应用

围魏救赵在复积分中的应用围魏救赵是三十六计胜战计第二计，共敌不如分敌，敌阳不如敌阴，打击集中的敌人不如分散他们再打，先打击气势旺盛的敌人，不如后打击气势旺盛的敌人。周易中的师卦：师左次，无各。军队放在无强敌的地方，就不会危险太多。在复变函数论中，利用留数理论计算封闭曲线上的积分时，就会出现这样的情况，根据留数定理，封闭曲线上的复积分可以用封闭曲线内所有孤立奇点的留数来计算，复函数在整个平面上所有孤立奇点的留数和为0，这样，如果封闭曲线内孤立奇点比较多，留数比较难以计算，那么就可以采用围魏救赵，进攻薄弱的无穷远点的留数，进而达到解决封闭曲线内留数的和的问题。下面通过例子来看。213dz例1、用适当方法计算J==3 (22 -1)°(2-8 + 1)解：213-13dz-2mRes8(2* -1)(-8 + 1)J=3 (22 -1)°(28 + 1)1=-2miRes[2,0]=411)(1+)(1-~1112++++-+·.)=z(1++...),Res[f(),oo]=-2282z2这个例题中，半径为3的圆内有10个孤立奇点，两个是二阶极点，8个是一阶极点，要计算8个孤立奇点的留数和比较困难，我们可以转为围攻无穷远点的留数，通过洛朗展式，可以轻易得到留数是-2，那么10个孤立奇点的留数和计算就是2，从而达到了目的。这里要注意计算无穷远点留数的方法，采用了多项式乘法的排列组合方法，关键找出留数的一项系数，注意例1和例2的异同之处。zdz例2、用适当方法【-=3 (22 -1)*(-8 + 1)解：

围魏救赵在复积分中的应用 围魏救赵是三十六计胜战计第二计，共敌不如分敌，敌阳不如敌阴，打击集 中的敌人不如分散他们再打，先打击气势旺盛的敌人，不如后打击气势旺盛的敌 人。周易中的师卦：师左次，无咎。军队放在无强敌的地方，就不会危险太多。 在复变函数论中，利用留数理论计算封闭曲线上的积分时，就会出现这样的情况， 根据留数定理，封闭曲线上的复积分可以用封闭曲线内所有孤立奇点的留数来计 算，复函数在整个平面上所有孤立奇点的留数和为 0，这样，如果封闭曲线内孤 立奇点比较多，留数比较难以计算，那么就可以采用围魏救赵，进攻薄弱的无穷 远点的留数，进而达到解决封闭曲线内留数的和的问题。下面通过例子来看。 例 1、用适当方法计算  =3 − + 2 1 d | | ( ) ( ) z z z z z 2 8 13 1 . 解： 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 2 1 8 2 2 2 8 2 2 2 8 2 8 1 3 + + + + − + = + +  = −  = − + = −  − + = − − +  = ) ( ) ( ) Re [ ( ), ] , ] ( ) ( ) Re [ , ] ( ) ( ) Re [ ( ) ( ) | | s f z z z z z i z z i s z z z z i s z z z z n z 2     ， z 1 z(1    1 1 1 d 2 1 3 3 2 这个例题中，半径为 3 的圆内有 10 个孤立奇点，两个是二阶极点，8 个是 一阶极点，要计算 8 个孤立奇点的留数和比较困难，我们可以转为围攻无穷远点 的留数，通过洛朗展式，可以轻易得到留数是-2，那么 10 个孤立奇点的留数和 计算就是 2，从而达到了目的。这里要注意计算无穷远点留数的方法，采用了多 项式乘法的排列组合方法，关键找出留数的一项系数，注意例 1 和例 2 的异同之 处。 例 2、用适当方法  =3 − + 2 1 d | | ( ) ( ) z z z z z 2 8 11 1 . 解：

2112ldz-2miResO(2* -1)(28 + 1)==3 (22 - 1)°(2-8 + 1)1-2iRes[,0]=2m1)°(1+(1Z1--12=(1+）)(1+..)=-(1+.),Res[f(2),oo]=-1+.-_2n1S22z2215d例3、通过计算无穷远点留数方法计算积分"=7(2+1)(2+9)解：215215dz7=2元Res[(2*+1)*(2*+9)4*)]J==7 (-* + 1)*(-2 + 9)4k=l2151=-2πRes[(*+1)(2* +9)0] =-2 Res[8)(1+z(1 +-=2元例3在圆内有6个抓立奇点，4个二阶极点，2个4阶极点，要计算这六个孤立奇点的留数然后求和，很复杂很困难，可以采用围魏救赵的策略，避开这六个孤立奇点留数的计算，转而进攻薄弱的无穷远点，通过洛朗展式得到无穷远点的留数，进而达到解答的目的

1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 8 2 2 2 8 2 2 2 8 2 8 1 1 + + + + − + = + +  = −  = − + = −  − + = − − +  = ) ( ) ( ) Re [ ( ), ] , ] ( ) ( ) Re [ , ] ( ) ( ) Re [ ( ) ( ) | | s f z z z z z i z z z i s z z z i s z z z z n z 2     ， z 1 (1 z 1    1 1 1 d 2 1 1 3 2 例 3、通过计算无穷远点留数方法计算积分  =7 + + 4 2 2 4 15 | | ( 1) ( 9) z z z z dz . 解： i z z z i s z z z i s z z z z i s z z z z k k z     2 9 1 1 1 1 2 1 9 2 1 9 2 1 9 4 2 2 4 4 2 2 4 1 5 7 1 4 2 2 4 1 5 7 4 2 2 4 1 5 =  + +  = − + + = − + + = + +  = = , ] ( ) ( ) , ] Re [ ( ) ( ) Re [ , ] ( ) ( ) Re [ ( ) ( ) | | d 例 3 在圆内有 6 个孤立奇点，4 个二阶极点，2 个 4 阶极点，要计算这六个孤立奇点的留数， 然后求和，很复杂很困难，可以采用围魏救赵的策略，避开这六个孤立奇点留数的计算，转 而进攻薄弱的无穷远点，通过洛朗展式得到无穷远点的留数，进而达到解答的目的