《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）弹性力学

第一章平面问题$1一1角坐标下按位移求解的控制方程当取用直角坐标系20y时，求解弹性力学向题的基本方程为[1平衡方程++0++X=0(1.1)arayazay几何方程aua0+e,a1=(1.2)a+ayar物理方程对于平面应力间题：2(1 +0)ua)，=3(1.3)(a.-va,),(a-.EEE(1.4)Er(e,+ ver), ty7-或（+VE,)，dxJ2(1+0)1*对于平面应变问题，测须将式（1.3)利(1.4)之E换为换为！首先讨论平面应力问题的控剖方程。将式(1.2)代入式(1.4)中，再将式(1.4)代入式(1.1).有E+++）LX-O2ay22aay+(1. 5)E1子ul-1+u+Y021-5(22azay式（1.5）即为传统的弹性学平面应力间题求解位多分盘4和的控制方程。引入体积应变函数，对平面应力问题1- 20301-+(1.6)+8,)=+eEe-cayula利用式（1.6），式（1.5)可以写成E8一+%)+×-。(1.7)E（++%）+Y=0201+%1-2uayTay2如果将式(1.7)中之e也视为独立的未知函数，则u、及e三个函数须由式（1.6)及（1.7)的三个方程确定。为了我们的目的，利用式(1.6）及（17)之关系推导另一个求解e的方程。分别对式（1.7）第一式及第二式分别关于和求一次导数，然后相加，并利用式1

（1.6），可得Ee++10(1.8)+01-2）旺ay式（1.8)就是我们所需要的求解e的方程。从而有求解u、及e的如下控制方程组：(1 +u)(1 - 2)(axaYV'e3E(ara1+u&21+x(1. 9)V'u=1-20aEl+ua2(1 +)VE1-2u ay+o式中V*atay控制方程（1.9)的优点是非耦联的。先由第一式求解e，（其中X和Y是已知函数），然后将求解得的e分别代入第二式第三式中求解u和.这样，所求解的均为独立的二阶偏微分方程。进而采用如下无因次量：1 -2(u1(,y), (,) =(,) =a(3.a,fg) - (1 + -20(0.0,g)(1.10)UE(X,) = (1 + 0) - 20)a(x,Y)DE式中为特征长度，取作参考值。于是，我们有确定无因次量函数、及的如下无因次控制方程：--（登+号)m=-l+ua-2X(1.11)Ul+ua2YUy3子式中与、间的关系为av71-(墨+)(1.12)利用式（1.10）之无因次盘及关系式（1.12），由式（1.2）及（1.4)可得如下无因次应力~位移关系：azae+（+）a=+(1.13)E式（1.11)～（1.13)即为以下求解平面应力问题时所使用的控制方程和关系式。用同样的方法可得到如下平面应变问题的控制方程：2

(ax+a)2em五1au-2X(1.14)UE1a---2YU在此惊形下，e与、间的关系为）(1.15)e-120（元+岁）而应力一位移关系仍与式（1.13）相同，只是其中应按式（1.15）计算，下面利用有关控制方程和关系式求解若干本问题，并润明求解方法的原理和步骤，1-2两端固定深梁的应力分析如图1.1(a）所示两端固定深梁，湾长2a，染高25；梁单位体积重为；梁的上边界受竖向分布荷载g()梁的受力属平面应力问题。取用如图所示直角坐标系zoy。不失一般性，设荷载q(）关于y轴对称，即g（z）=q（-r). g(2)7BLaoba/Y.7++(6)(a)图 1. 1取用半跨长为参考长度，在式（1.10)无因次量的情况下，并将荷载q(z）转化为无因次(1+0)-22g(z)，则图1.1(a)成为图1.1(b)，图中入=b/.量(元)-UE注意到体积力为梁的自量,则X=0, =-7(7=(±)(=20)4%),控制方程(1. 12)UE成为l+ua0+27(1.16)场=一Uua为了简化计算，将图1.1(6)所示之荷载分解为如图1.2(a)和(6)所示关于轴对称和反对称两种情形。由图1.2有如下边界条件：对称荷载情形［图1.2(a)5=0士1，#0、(1. 17)，(),=0注意到式（1.条件（1.17）可写成3

13(2)ET17L14ob(2)（2)(b)(a)1-22±1，-0，5=0(1.18)aa3二士入e-(),强ayy反对称荷载情形图1.2（b）至一±1，这=0.5-0(1.19)()艾二士入，注意到式（1.13），条件（1.19）可写成1，0，0(1.20)aau艾二士入，-),ayy（一）两端固定深梁应力分析的边值问题综合控制方程（1.16）及边界条件（1.18）和（1.20），两端固定深梁应力分析的问题归结为如下单个偏微分方程的边值问题：对称荷载情形图1.2(a）V=0.1,(1. 21)=±1;=(3)=±，2=f(元))其中f（3）及f，（）为待确定之函数。1+ue2.V=-E(1.22)a=±1，4=0,=±入,I-3.U(1.23)a士入，F=士1，7=0：()反对称荷载情形[图1.2(6)]1.r=0(1.24)e±g()e=gi(y);±,其中gi(）及g()为待确定之函数。la2.E(1.25)a面二士1，4=0：艾士入，ay4

=需+273.U苏(1.26)a32±1，=0，=±（)H（二）对称荷载情形下的解答求解1.将式(1.21)中之待确定函数/()和f,()表示为如下级数形式：B,cosa,fi(y) = ZAcosdy, fi() = (1. 27)式中A,和B.为待定系数，a,=(t—0.5)，d,=（i—0.5)x/入于是，由式(1.21)有+0a(1.28)CAcosd，±-B.cosa,F=±1.e-不难验证，边值间题（1.28）之解为A cha,zcosa,gcosa,zcha.y(1.29)Rcha,acha,2.求解将式（1.29)代入式(1.22)中，有a'sha'zcosa'ya,sina,tchayBS2cha'cha,dU(1.30)0--，#：用有限积分变换法求解边值同题（1.30），并取用如下积分变换式：(n(3.)正变换：(1.31)逆变换：(，）（)sin-式中P,=jr以sinβ乘式（1.30)之两端，并从1到+1对进行积分，有A.aE,cosa.3a,F,cha,yz*1TUSo一1dchacha,aUS.(1. 32)=一门sinpid3士入，28.shq'cosp[tisha'isinpidzm式中E-+用sin(a; -p)sin(α +β)FI-ina,siniα,-P,.+β注意到为之偶函数，式（1.32）第一式之解为5

(1.33)[AE,cosa'y+B,F,chay]'-Cchey+GEa.F1+u1+0E=Fi=式中（+的)cha()chaUC,为积分常数，由式(1.32)第二式之条件确定，即[A,q,' E,sina/ - B,a,Fisha,)]CPshp,d -(1.34)7sinpzd,j=1,2,3,..将式（1.33)进行逆变换，有2A,E,cosa/7+2[cch+B,F,chay]sinp,z(1.35)Z=3.求解节将式（1.29)代入式（1.23），有+4 B, 4.cosa,zsha,31cha,aacha,(1.36)S=B,cosa,()=士，：买苏仍用有限积分变换祛求解边值题（1.36）.并取用如下积分变换式：(a,)[(,)cosad正变换：(1.37)(,)(a)co8a逆变换：aj,--(j--0. 5)x式中仿求解的方法，最后得2[≥AG,sing's - B,(L,shaj3 - H,jeha3) + ehe]acha,jcosa,z (1.38)aG.(1+a,Atha,)-1]、 Gn-式中L=u(a+a)cha,acna202a,cha'sinai1+0（cosaH,2ucha,a，ay=G-(a+)4.确定常数A.、B.及C.式（1.29）、（1.35）及（1.38)中A、B:和C尚是未知的，还需要确定.带数A、B，和C.之确定，除利用条件（1.34）外，尚须利用如下两个条件：2=±1, -1(墨+)(1.39)了=±人, &-1(墨+雾)(1.40)利用条件（1.34）、（1.39）及（1.40），最后得到确定带数A、B.和C，的如下线性代数方程组：6

BYuZc,p,N;cosp, - 0A.Xu--ZBY-B,12c,ppchp, --α. = 1.2.3...(1.41)台ZAX+ZB,Yy - C,pshPA - Z.1l式中 Xu-1 -Zp,Eacospe, Yiu --ZAFaPecosp., YupQuFachayAUZaGuMajsind,a, Yu, a,Ma(Lpsha,a - H,cha,a) - ajFasha,X,w[a,E,--ZaMathaa, Ma -sina-P) _ sintp), N, -2sche4ing?2. a β,a+p,+附）2a'cha,isina'aQu = sin(αB) + sin(a + P)Pi,-时）a+p,a. ,5.应力分量由求解式(1.41)之方程组确定常数A、B和C.后，代入式(1.29)、(1.35)和(1.38)中即可进行计算、和元，再将式（1.29）、（1.35）及（1.33）之2、和代入式（1.13）中，则得到如下应力分量的表达式cosaichaychaicosa'y22,E,cos3,zcosal3]+SAI0.-cha,ncha!o2,F,cosp,rcha3j+c.3.cosp,ieh.3A[chrcosacosa,zcha,y2a'Ggcos0,zcosa/3]+ a,=cha,acha'台acosa,icha.y+(a,L-H,)chay-H,ayshaycosa,z)--chajaa,G,sinaa/E,sinpsinal12ar ianheaiSB[ a(Lshay - Hiseha,y)sina,?Fa,sinazshay!2C.psinpzshe5+cna.A(1.42)（三）反对称荷载情形的解答将式(1.24)中之待确定函数g;()及g：()表示为如下级数形式：(1.43)AsinA'y, g(左) =B,cosa,rgi(y) =4（-0.5)元，/式中A：和B.为待定系数：仿求解对称荷载情形解答的方法和步骤，不难得到反对称荷载情形的解答。这里略去演算过程，直接给出有关的表达式和算式。7

1、、及节的表达式chgisinpiycosa,zsha,y+ B:Achp!sha,aZA.E,sinp!3+B.F,shay[C,shp+二sinzs47sina,cha,yZ[ZAGμcosP/ + B,(Lehajy -H,ysha,)asa.aj(1.44)B/E.!a.F.1+u2pshp'cosp1-0Eu=式中FEU（ch+门（)shasin(a,p)sin(a)Gy2achB/sing1-0H,-时十-32sha,ati,3/G.1+vGit=[H,(sha, + a,icha) - 1],CU（ta)cha,sha,a确定带数A、B和C.的线性代数方程组2.B,Yu-Zc,p,N,cosP, = 0A,Xu1BLZB,Yuj - 2cpQshpA -- a i = 1.2.3...一(1.45)f-1A,X +ZB,Y+ C.BchPa=-Z.-i-1ZpiF,AP,cospa, YsX.-1-0EpFQushaApEucosp,Yu=式中0aGaMcosp,aX,EYuy - a,F,cha,a -a,M,(L,cha, -H,asha,a)47sina28!shp,cosaTa2ml+2. -N., =d+0sin(a-p)sin(r+ p,)2p'shadcos3Pu=-Maa-p.a+的+)sin(a; β,)sin(a, +3)Q, =P,=ira, + β,a-应力分量表达式AFcha/zsing+cosa,tsha,ya ia3 + 3/3ZAia.Achp!sha.ac..cosp,zshpye,Ficosp,shay++/cosa,isha,[chp!zsinp238CA'G,cosa,isinp'+chp!sha,a=a.cosa,ishan1.+ [a,L,sha:yH,(sha,y +ajchay)Jcoa,)2sha,a8

[EusinaGusinaJcos'B[a,sina,(L,cha,y - Hjsha,y) -aFysinptchay-5[gcha + 47sina sina,]c.p,sinp,zchpy+(1.46)Lsha,a利用上述解析解，我们对两端固定深梁的应力进行了其体的数值计算，计算分为两种情(1+v)(1-2u)形：一为深只受均布荷载9面无自惠，即g（1）=g70，并取。g=1.0UE1一1.0，0=0.167，计算结果绘在图1.3上，如实线所示者，另一为只有自重而无外教，即9(2)=0,并取>_(1+0)(1-20)g)Y=1.0，入-1.0,V=0.167计算结果绘在图1.4上，如实UE线所示。13130.5315(0.53)0.812.011. 001.000.000.280.000.00..41[(0.98)(0.75)(0.96)V(0.36)(0.01)(0.11)(0.07)DCP000. 0740.870.000.350.160.740.010.70(0.11)(0.87/(0.02)(0.05)(0.74)(0. 04)(0.73)(0.35)[(0. 18) ()?R+???0.010. 030.450.330.17,0.03030.441(0.01)(0.14)(0.02)F(0.06)(0.31)(0.42)(0.04)(0. 33)O-a.21?10.06田0.019o. 000.100.100.120.030. 28(0.06)103(0.02)(0.04)(0. 20)(0. 27)(0.01)0(0.10)(e.11)O田+0.32Jo.110.000.000.040. 00L000.001.0(0.29)0.101[(0.01)(0.00)(0,05)(0.01)(0.07)(0.51)(c)a分布阳(8)，分布面，分有图(a)注：括号（）内的懂为有限元结果图1.3尚塑应力分存团为了验证解析解的正确性，对上述两种荷载情形下两端固定深梁的应力，我们又采用有限元法进行了计算计算中利用问题的对称性，取深梁右半部分为计算对象，单元划分如困1.5所示，并利用SAP5程序进行计算.计算结果也分别绘在图1.3和1.4上，如虚线所示.由图可以看出，解析解与有限元结果吻合良好，证实了解析解的正确性。为了检验解析解中级数的收敛情况，我们在计算深梁只受均布外荷载的应力时，分别取级数前10、15、20.25、30项计算了=0.5截面上的应力。计算结果列于表1.1.1.2和1.3中.9

319.290. 000. 000.000, 00(0.39)0.101.540.00(0.14)(0.87)(1.71)(0.07)(0.00)(0.02)(0.19)(0.6$)COOOOO?0.010.5500.1610.160.G70.0710320. 58(0.16)(0.01)0.03)(0.54)(0. 93)(0.06)(0.10)(0.17))Hco.-SG,O??0.6300.000.0011.050.000. 00.000.30. 00(0.00)5(0.13)(0. 62)(10)(0.00)(0.00)(0.00)(0.00)(0. 00)0.16?0.170o.5500.070. 013.000.070. 980.16.03(0.10)(0.62)(0. 17)0.16)(0. 15)(0. 93)(0.01)(0. 05)000+④O?0.000. 290.000. 000.10No.000.000.76a(0.14)(0. 39)(0.03)(0. 65)(0.87)(1.71). [(0.07)(0. 05)(0. 19)r.分布国(e)，分布图，分布图()a注：括号（内的值为有限元结果国1.4自量应力分布国4车事和务4年如车办元中鲜力+it4加?如图1.510